高考数学总复习教程第2讲 导数、多项式函数的导数

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1、高考数学总复习教程第2讲导数、多项式函数的导数一、本讲进度2.1导数的背景2.2导数的概念2.3多项式函数的导数，课本P30～39二、学习指导本讲通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（）、曲线在某一点处的切线的斜率（）、生产的边际成本（）三个实例（也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：函数的变化量△y与自变量的变化△x的比值当△x→0时的极限，并定义为函数f(x)在这一点处的导数.（课本P33页）并进而定义了导函数（简称导数）（课本P34页）.导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些

2、常见函数的导函数，并作为公式加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：C/=0，及=（n为正整数）课P36已予推导；两个法则：[f(x)±g(x)]/=(x)±g/(x).[Cf（x）]/=C(x).请同学们根据定义自行证明一下上述两个法则后再往下看：[f(x)±g(x)]/===±=±==（C·）=C=.有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了.另外，∵=≈，∴△y≈·△x.当△x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。三、典型例题讲评例1．n∈N*求函数y=x—n（x≠0）的导函数我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。y/====－=－=

3、－.上述结果的形式与=有何关系？你能否据此猜度是什么（α∈R）？例2．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.抛物线焦点：F（－,+）它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法

4、线方程。例3．求函数y=x4+x－2图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.首先由得x4+2=0知，两曲线无交点.y/=4x3+1要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0,－2）.d==.一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与曲线y=f(x)相交，（A为一交点），则l/与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l/间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离d=

5、=≥=故距离最小值为.上述等号当且仅当x0=0时取得故相应点坐标为（0，-2）.例4．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，若V==g=9.8m/s，则下列说法正确的是（）（A）0～1s时间段内的速率为9.8m/s.（B）在1～1+△ts时间段内的速率为9.8m/s.（C）在1s末的速率为9.8m/s（D）若△t＞0，则9.8m/s是1～1+△ts时段的速率.若△t＜0，则9.8m/s是1+△ts～1时段的速率.本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C），但值得指出的是：中的△t可正可负.例5．

6、定义在（α、β）上的函数f(x)满足f(1)=2，(1)=3.（α＜1＜β）.（1）求的值;（2）求的值本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.==（f(x)+2）[f(1+△x)+2]=(1)·(f(1)+2)=3·(2+2)=（x+1）()=(1)(1+1)=6.例6．曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1在（3,4）点处的切线为l2：y=－2x+10，求曲线C的方程.已知两点均在曲线C上.∴y/=3ax2+2bx+c(0)=C(3)=27a+6b+cl1：y=c

7、x+1l2：y=(27a+6b+c)(x－3)+4与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=－，b=1.求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.四、巩固练习1．A选择题（1）曲线y=x3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（）（A）（－2，－8）（B）（－1，－1）或（1，1）（C）（2，8）（D）（－，－）（2）一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5－3t2，则它在