高考数学总复习教程第6讲 函数的概念

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1、高考数学总复习教程第6讲函数的概念一、本讲内容一、本讲进度：函数的概念、函数的定义域和值域、函数的解析式、函数与反函数.二、学习指导函数是高中数学最重要的内容.A、B两上集合，如果存有对应关系f，使A中任一元素通过f，B中有唯一确定的元素与之对应，则把A、B两集合连同它们之间的对应关系f称为一个映射，记作f：A→B.因此，集合有三要素：A、B及小，能否构成映射，关键在于A中元素是否都有象，这些象是否都是唯一的，而不在于B中元素是否都是原象，或原象是否唯一.如果映射f：A→B中，B中元素都有原象，且原象都是唯一的，则称这样的映射为一一映

2、射，一一映射才有逆映射（即把A中元素的象作为原象而把原象作为象的映射，记作f－1：B→A）函数是其定义域到值域的一种映射，定义域和值域都必须为非定数集.一一映射构成的函数才有反函数(即逆映射所确定的函数).原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.注意以下两个问题的区别：(1)曲线f(x、y)=0与g(x、y)=0关于直线y=x对称，那么g(x、y)=0是f(x、y)=0的反函数吗？(2)函数y=f(x)和y=g(x)图象关于直线y=x对称.那么，y=g(x)是f(x、y)=0的反函数吗？

3、当对应关系f确定后，定义域即决定了它的值域.三、典型例题讲评x124y248例1．(1)函数y=f(x)的对应关系如表：它是否有反函数？如果有试写出其反函数：(2)已知f(1－cosx)=cos2x+2cosx.求f－1(x).(1)函数的表达方式有三种：①图象法.如急诊病人的体温和入院时间之间的函数关系，它无法用解析法表达.②列表法.如住院病人的常规体温测试与时间f的关系.③解析法.如果对应关系可以用一个解析式表达的话，称此解析式为函数的解析式.当然，初等数学接能的大都为此.本题是用列表法表示的函数，由表中数据的此函数有反函数为x2

4、48y124(2)令u=1－cosx∈［0，2］则cosx=1－u可是f(u)=2(1－u)2－1+2(1－u)=2u2－6u+3在［0，2］上单调递减，故有反函数.2(u－3)3=y+15－(u－3)=.故反函数解析式为y=3－.其定义域为原函数的值域为［－1，3］.若把题目变为“已知f(－cosx)=cos2x，则可得f(x)=2(x－1)2－1x∈［0，2］.则f(x)没有反函数，因为此函数在［0，2］上不是单调函数，不是一一映射构成的函数”.例2．如图，一上部为半圆周，下部为一矩形三边的周长为l的钢窗框，试用半圆半径r表示<>

5、<>面积S，并写出定义域、值域.解：矩形一边为2x，另一边为.S=.要求定义域，r＞0是显然的，另一端则应改为下部是矩形，其一边＞0，故r＜.S=f(x)在单调递增，在(，)单调减，且因－=＜=∴S∈求函数的定义域，除了要使解析式有意义(如分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数真数为正，指数与对数的底大于0且不等1，等等)、对实际问题还应考虑实际可能的范围.例3．求函数y=的定义域.由81－x2≥0x∈［－9，9］sinx＞0知lgsinx≠1x∈(2k，2k+)∪(2k+，(2k+1))(k∈z)因x取值范围有限，故结果应逐段写出

6、，如y=f(2x)是由y=f(u)，u=2x复合而成。它的定义域是指初始自变量x的取值范围，而不是中间变量u的取值范围，这个概念搞清楚了，本题也就迎刃而解了.例5．已知函数f(x)满足：f(x)+xf(1－x)=x，求其值域.在本题中，要求值域，必须先把f(x)的解析式写出，那就须先设法除去f(1－x).令1－x=u，则x=1－u，由已知f(1－u)+(1－u)f(u)=1－u.亦即f(1－x)+(1－x)f(x)=1－x它与原先的f(x)+xf(1－x)=x就形成了关于f(x)和f(1－x)的二元架构，就可通过解二元方程组的办法消去

7、f(1－x)除则f(x)=.下面我们来求它的值域.我们可把原式写为(y－1)x2－yx+y=0的形式，图形别式法求出y的取值范围.我们也可知，当x=0时，f(x)=0，当x≠0时，=1－+=(－)2+∈来求y的取值范围.例6．x∈A.求f(x)=(x∈A)的值域为时的A.f(x)的定义域A即其反函数的值域故可令≥4，得x∈［3，］.∴A=［3，］例7．求下列函数的值域.(1)y=(2)y=(3)y=这三题定义域均为［0，1］，值域与此有关.在第一小题中，f(x)=在［0，1］单调递增，而g(x)=在［0，1］单调递减，故原函数在［0，

8、1］单调递增，利用定义域和单调性，立即可求出值域为［－1，2］.在第(2)小题中，因()2+()2=1故可利用基本不等式知+≤=(当x=时)，也可直接写为+==求出值域；在第(3)小题中，仍有()2+()2=1但(2)中