高考数学复习专题练习第2讲 导数在研究函数中的应用.pdf

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1、第2讲导数在研究函数中的应用一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案D2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()解析∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，当x<－2时，xf′(x)>0.在x＝－2附近的右侧f′(x)>0，当－2

2、时，xf′(x)<0，故选C.答案C3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是()．A．－2B．0C．2D．4解析　f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在[－1，0)上是增函数，f(x)在(0，1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案　C4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()．A．(－1，2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3，6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析　f′(x)＝3x2＋2ax

3、＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案　B5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是()解析设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因为x＝－1是F(x)的一个极值点，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在选项D中，观察图像得到f(－1)>0，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)>

4、0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故选D.答案Dx316．已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别32在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a的取值范围是()A．(－4，－2)B．(－∞，2)∪(7，＋∞)C．(2,7)D．(－5，－2)解析由题意，求导可得f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可知Error!所以a，b满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b－2a在B(－1,0)处取值为2，在C(－3，1)处取值为7，所以b－2a的取值范围是(2,7)．答案C二、填空题x2＋a7

5、．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．x＋12x（x＋1）－（x2＋a）解析　由f′(x)＝＝0，（x＋1）2∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.答案　38．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析　f′(x)＝ex－2.当x＜ln2时，f′(x)＜0；当x＞ln2时，f′(x)＞0.∴f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a，则函数有零点，即f(x)min≤0.∴2－2ln2＋a≤0，∴a≤2ln2－2.

6、答案　(－∞，2ln2－2]9．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，Error!⇒Error!∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.[来答案：410．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋

7、2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.答案：a>2或a<－1三、解答题11．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．解　(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)∵n＝－3

8、m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞