第2讲 导数在研究函数中的应用生

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1、第2讲导数在研究函数中的应用★知识梳理★1.函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内.2.判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是3．解题规律技巧妙法总结:求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右

2、的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.★重难点突破★1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。问题1.设，．令，讨论在内的单调性并求极值；

3、（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.4（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.★热点考点题型探析★考点1:导数与函数的单调性题型1.讨论函数的单调性例1(08广东高考)设，函数，，，试讨论函数的单调性．求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试例2:若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系例3.当，求证【新题导练】.1.若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥3B.a=2C.a≤3D.0

4、2.函数y=x3+x的单调增区间为A.(－∞,+∞)B.(0,+∞)C.(－∞,0)D.不存在3.已知函数,,设．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；考点2:导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1.若函数在处取得极值,则.例2．（2008·深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．例3.(广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.4（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3．（广东省六校2

5、009届高三第二次联考）已知函数图像上的点处的切线方程为．（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【新题导练】4．在区间上的最大值为，则=（）A.B.C.D.或5．在区间上的最大值是A．B．0C．2D．46．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意不等式恒成立.★抢分频道★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．、函数有（）A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，

6、极大值2D.极小值－1，极大值33．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.04．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间.45．（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。综合拔高训练6．（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；　（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上

7、任意两个自变量的值x1，x2，都有

8、f(x1)－f(x2)

9、≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.7．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）已知，其中是自然常数，（Ⅰ）讨论时,的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.8．(潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质