十五讲导数在研究函数中的应用.ppt

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1、第十五讲导数在研究函数中的应用､生活中的优化问题举例走进高考第一关基础关教材回归1.函数的单调性在某个区间内,若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内为________;若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内为________.增函数减函数注意:当f′(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处为正(或负)时,f(x)在这区间上仍旧是单调递增(或递减)的,例如:在(-∞,+∞)上,f(x)=x3,当x=0时,f′(x)=0,当x≠0时,f′(x)>0,而f(x)=x3显然在(-∞,+∞)上是单调

2、递增函数.2.函数的极值(1)如果在x0附近的左侧f′(x)________0,右侧f′(x)________0,且f′(x0)________0,那么f(x0)是极大值;><=(2)如果在x0附近的左侧f′(x)________0,右侧f′(x)________0,且f′(x0)________0,那么f(x0)是极小值.注意:函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件,而不是充分条件.<>=3.一般地,求函数y=f(x)在上的最大值与最小值的步骤如下:(1)_______________

3、_______________;(2)______________________________________________________________________________.求函数y=f(x)在(a,b)内的极值将函数y=f(x)的各极值点与端点处的函数值f(a)､f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值4.生活中经常遇到求利润最大､用料最省､效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具.5.

4、导数常常和解含参数的不等式､不等式的证明结合起来,应注意导数在这两方面的应用.考点陪练1.函数y=x+(a>0)的减区间为()A.(-a,a)B.(-a,0)∪(0,a)C.(-a,a)且x≠0D.(-a,0)及(0,a)D2.若函数y=a(x3-x)的递减区间为(),则a的范围是()A.a>0B.-11D.0

5、1在闭区间上的最大值､最小值分别是()A.1､-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19C5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极值为()A.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为-C.极小值为-,极大值为0D.极小值为0,极大值为A解读高考第二关热点关类型一:函数的单调性解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x

6、)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.典例1已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.［分析］第(1)问由f(x)在R上是增函数知f′(x)≥0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.［解］(1)由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调

7、增函数,∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,∴a≤0.(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1

8、上单调递减.［评析］容易把f′(x)>0(f′(x)<0)看成是f(x)为增函数(减函数)的充要条件,从而求错参数的范围.［探究１］已知f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.［分析］通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0,得ex≥a.当a≤0时,有f′(x)>0在R上恒成立;当a>0时,有x≥lna.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)