导数在研究函数中的应用2

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1、内部资料2021-7-14导数在研究函数中的应用㈡一、要点精讲1、导数的概念及运算⑴定义式==。⑵几何意义：曲线在点处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切线的斜率是。⑶求导数的方法①基本导数公式（C为常数）　②导数的四则运算(‘=。③复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：2、导数的应用⑴曲线的切线方程：曲线在点处的切线方程为(在点处的导数存在)。⑵函数的单调性若函数在某个区间内可导，则①，为增函数；②，则为减函数．③。则为常数．⑶求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数的定义区间.②求，

2、令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根.③把函数的间断点（即包括的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间.④确定在各小开区间内符号，根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性.⑶函数的极值定义①求可导函数极值的步骤：求导数求方程的根检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左负右正，那么函数在这个根处取得极小值.②求可导函数在上的最值的步骤求在内的极值求，的值比较，、极值的大小．红河谷小

3、区A幢2-202（银海森林旁）日新路1161号（日新加油站旁）8世纪半岛馨安苑1幢1-301电话：13619699191内部资料2021-7-14二、点击双基1．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（C）2.已知曲线在区间上的切线倾斜角取值范围为，则实数的最小值是（C）(A)8(B)12(C)14(D)15，，3．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（）(A)1，-1(B)1，-17(C)3，-17(D)9，-19解：y′=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令y′=0得x1=－1，x

4、2=1。当－3＜x＜－1时，y′＞0，函数是增函数；当－1＜x＜0时,y′＜0，函数是减函数。，，∴选C4.函数在（０，＋∞）上的单调性是__________.增函数解:∵，∴当x∈（0,+∞）时，f′（x）＞0.∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.5．函数的单调增区间为．6．已知函数在处有极值为10，则，．三、典例剖析考点一：利用导数求函数的单调区间1.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数CA.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）解：y′=（xsinx+cosx）′=si

5、nx+xcosx－sinx=xcosx,当x∈（,）时,恒有xcosx＞0.2.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是.解：f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数，∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.答案:m＞3.（09全国Ⅱ）(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:（I）红河谷小区A幢2-202（银海森林旁）日新路11

6、61号（日新加油站旁）8世纪半岛馨安苑1幢1-301电话：13619699191内部资料2021-7-14令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；4、已知函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］.（1）若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；解:（1）由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈(0,1].∴a＞－1.当a=－1时，f′(x)

7、=－2+对x∈(0,1）也有f′(x)＞0，满足f（x）在(0,1]上为增函数，∴a≥－1.5.（09安徽）已知函数，讨论的单调性.解：的定义域是(0,+),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设,二次方程的判别式.①当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。②当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。③当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,红河谷小区A幢2-202（银海森林旁）日新路1161号（日新加油站旁）8世纪半岛馨安苑1幢1-3

8、01电话：13619699191内部资料2021-7-14在是上单调递减,在上单调递增.6.(09辽宁理)已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。考点二：利用导数研究函数的极值、最值7.已知函数=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号.（2）要分清点A（