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1、内部资料2021-7-14导数在研究函数中的应用㈡一、要点精讲1、导数的概念及运算⑴定义式==。⑵几何意义:曲线在点处的切线的斜率。也就是说,曲线在点处的切线的斜率是。⑶求导数的方法①基本导数公式(C为常数) ②导数的四则运算(‘=。③复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:2、导数的应用⑴曲线的切线方程:曲线在点处的切线方程为(在点处的导数存在)。⑵函数的单调性若函数在某个区间内可导,则①,为增函数;②,则为减函数.③。则为常数.⑶求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数的定义区间.②求,
2、令,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数的间断点(即包括的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间.④确定在各小开区间内符号,根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性.⑶函数的极值定义①求可导函数极值的步骤:求导数求方程的根检验在方程的根的左右的符号,如果在根的左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左负右正,那么函数在这个根处取得极小值.②求可导函数在上的最值的步骤求在内的极值求,的值比较,、极值的大小.红河谷小
3、区A幢2-202(银海森林旁)日新路1161号(日新加油站旁)8世纪半岛馨安苑1幢1-301电话:13619699191内部资料2021-7-14二、点击双基1.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是(C)2.已知曲线在区间上的切线倾斜角取值范围为,则实数的最小值是(C)(A)8(B)12(C)14(D)15,,3.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是()(A)1,-1(B)1,-17(C)3,-17(D)9,-19解:y′=3x2-3=3(x+1)(x-1).令y′=0得x1=-1,x
4、2=1。当-3<x<-1时,y′>0,函数是增函数;当-1<x<0时,y′<0,函数是减函数。,,∴选C4.函数在(0,+∞)上的单调性是__________.增函数解:∵,∴当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.5.函数的单调增区间为.6.已知函数在处有极值为10,则,.三、典例剖析考点一:利用导数求函数的单调区间1.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数CA.(,)B.(π,2π)C.(,)D.(2π,3π)解:y′=(xsinx+cosx)′=si
5、nx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈(,)时,恒有xcosx>0.2.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数,则m的取值范围是.解:f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数,∴f′(x)>0在R上恒成立,即3x2+2x+m>0.由Δ=4-4×3m<0,得m>.答案:m>3.(09全国Ⅱ)(本小题满分12分)设函数有两个极值点,且(I)求的取值范围,并讨论的单调性;.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:(I)红河谷小区A幢2-202(银海森林旁)日新路11
6、61号(日新加油站旁)8世纪半岛馨安苑1幢1-301电话:13619699191内部资料2021-7-14令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得⑴当时,在内为增函数;⑵当时,在内为减函数;⑶当时,在内为增函数;4、已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围;解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f′(x)>0,即a>-,x∈(0,1].∴a>-1.当a=-1时,f′(x)
7、=-2+对x∈(0,1)也有f′(x)>0,满足f(x)在(0,1]上为增函数,∴a≥-1.5.(09安徽)已知函数,讨论的单调性.解:的定义域是(0,+),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设,二次方程的判别式.①当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。②当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。③当,即时,方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,红河谷小区A幢2-202(银海森林旁)日新路1161号(日新加油站旁)8世纪半岛馨安苑1幢1-3
8、01电话:13619699191内部资料2021-7-14在是上单调递减,在上单调递增.6.(09辽宁理)已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)证明:若,则对于任意有。考点二:利用导数研究函数的极值、最值7.已知函数=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)讨论和是函数的极大值还是极小值;(2)过点A(0,16)作曲线的切线,求此切线方程.剖析:(1)分析x=±1处的极值情况,关键是分析x=±1左右(x)的符号.(2)要分清点A(