导数在研究函数中的应用(2)

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1、导数在研究函数中的应用【知识点回顾】1.函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递减；如果，那么函数在这个区间内点掉递减.2.判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值3．解题规律技巧妙法总结:求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=

2、0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【方法总结】1.在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点例1.设，．令，讨论在内的单调性并求极值

3、；【名师点拨】根据求导法则有，2减极小值增故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．-12-2.借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数例2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.（1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得【考点追踪】考点一

4、导数与函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．(08广东高考)设，函数，，，试讨论函数的单调性．[解题思路]先求导再解和解：-12-对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数.【名师点拨】解题规律技巧妙法总结:求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增

5、区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.题型2：由单调性求参数的值或取值范围例2．若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.[解题思路]解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解：又在区间[－1,1]上单调递增在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]的最大值为故的取值范围为【名师点拨】本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.题型3：借助单调性处理不等关系例3.当，求证[解题思路]先移项,再证左边恒

6、大于0-12-解：设函数当时，，故在递增，当时，,又，，即，故【名师点拨】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明变式1：若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a≥3B.a=2C.a≤3D.0

7、x3+x的单调增区间为A.(－∞,+∞)B.(0,+∞)C.(－∞,0)D.不存在解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.答案：A变式3：已知函数,,设．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；解析：（I），∵，由，∴在上单调递增.由，∴在上单调递减.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（II），恒成立-12-当时，取得最大值.∴，∴考点二导数与函数的极值和最大(小)值.题型1：利用导数求函数的极值和最大

8、(小)值例1.若函数在处取得极值,则.[解题思路]若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.解：因为可导,且,所以,解得.经验证当时,函数在处取得极大值.【名师点拨】若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.例2．设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．[解题思路]先求驻点，再列表判断极值求出极值.解：，．令，解得或．由于，当变化时，