高三数学（文数）总复习练习专题九 数列.pdf

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1、(2015·湖南，19，13分，中)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.解：(1)证明：由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，则对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.故对一切n∈N*，an＋2＝3an.n＋2a(2)由(1)知，an≠0，所以＝3.na于

2、是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2×(1＋3＋…＋3n－1)＝3×(1＋3＋…＋3n－1)3×（3n－1）＝.23×（3n－1）从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－12＝3×(5×3n－2－1)．23n－3（5×3－1），n为奇数，22综上所述，Sn＝3n{（3－1），n为偶数.)221．(2012·大纲全国，6

3、，中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()3n－1A．2n－1B.(2)2n－11C.D.(3)2n－1Sn＋13【答案】B　由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以SnSn23n－1＝(，故选B.2)2．(2011·四川，9，中)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1【答案】A　方法一：a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42

4、，a5＝3S4＝192＝3×43，a6＝3S5＝768＝3×44.故选A.方法二：当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a2＝3S1＝3a1＝3，1（n＝1），∴an＝{3×4n－2（n≥2）.)∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.13．(2014·课标Ⅱ，16，易)数列{an}满足an＋1＝，a2＝2，则a1＝________．1－an1【解析】∵an＋1＝，a2＝2，1－an1∴a2＝＝2，11－a1即a1＝.

5、21【答案】214．(2012·上海，14，中)已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝1＋xa2012，则a20＋a11的值是________．1【解析】∵an＋2＝f(an)＝，a1＝1，n1＋a1∴a3＝，21213a5＝＝，a7＝＝，13251＋1＋231518a9＝＝，a11＝＝，385131＋1＋58又a2010＝a2012，1即a2010＝⇒a20210＋a2010－1＝0，20101＋a5－1－5－1∴a2010＝a2010＝舍去).2(215－1又a2010＝＝，1＋a2008225＋1∴1

6、＋a2008＝＝，25－15－15－15－18即a2008＝，依次类推可得a2006＝a2004＝…＝a20＝，故a20＋a11＝＋＝22213135＋3.26135＋3【答案】265．(2012·广东，19，14分，中)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn

7、－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)．当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)．因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2.当n＝1时也满足上式，所以an＝3×2n－1－2.思路点拨：利用Tn与Sn的关系得出Sn与an的关系，然后构造等比数列求

8、解．考向1　由递推公式求通项公式(1)