高三数学（文数）总复习练习专题十九 几何证明选讲.pdf

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1、(2015·广东，15，中)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD＝________.【解析】　方法一：如图，连接OC，∵C为切点，∴在△OCE中，OC＝r＝2，CE＝23，∴OE＝4，1∴sin∠CEO＝，∴∠CEO＝30°.2在Rt△AED中，∠AED＝∠CEO＝30°，11∴AD＝AE＝(AO＋OE)＝3.22方法二：如图，连接OC.∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴△OCE∽△ADE.依题得，CE2＝BE·AE，∴CE2＝BE·(AB＋BE)．又CE＝23，AB

2、＝4，∴BE＝2.OCOE又△OCE∽△ADE，∴＝，ADAEOC·AE∴AD＝＝3.OE【答案】31．(2014·天津，7，易)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D　由题意知∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，∴∠FBD＝∠DBC，故①正确；由切割线定理知②正确；易证△ACE∽△

3、BDE.AEBE∴＝，CEDE∴③不正确；∵在△ABF和△BDF中，∠FBD＝∠BAD，∠BFD＝∠BFA，AFAB∴△ABF∽△BDF，∴＝，BFBD∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．故选D.2．(2014·陕西，15B，易)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.【解析】　由已知得∠AEF＋∠BEF＝180°，∠BEF＋∠BCF＝180°，所以∠AEF＝∠BCF；同理，可证∠AFE＝∠ABC.所以△AEF∽△ACB，EFAEAEAE所以＝⇒EF＝·BC＝×6＝3.BCACAC2AE【答案】33．

4、(2013·广东，15，易)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.【解析】　在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝3，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE22＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝＋39－2×3×3×3＝21，故ED＝21.4224221【答案】24．(2012·陕西，15B，易)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________．【解析】　由相

5、交弦定理得AE·EB＝DE2，∴DE＝5.又△DEB∽△DFE，∴DE2＝DF·DB＝5.【答案】55．(2013·辽宁，22，10分，中)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝90°；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝90°，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，B

6、E是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.6．(2012·课标全国，22，10分，中)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)如图，连接AF，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝A

7、F.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.考向1　相似三角形的判定方法与性质应用1．相似三角形的判定方法(1)判定定理定理1：两角对应相等，两三角形相似．定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成