《线性代数》练习五.doc

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1、练习五矩阵的特征值与特征向量一、选择题1、设A为n阶方阵，则下列结论中正确的是（A）若A可逆，则A的对应于的特征向量也是的对应于的特征向量（B）矩阵A的特征向量就是方程的全部解向量（C）A的特征向量的任一线性组合仍为A的特征向量（D）A与具有相同的特征向量2、设A为三阶矩阵，且E-A，2E-A，-3E-A均不可逆则下列结论中不正确的是（A）矩阵A可对角化（B）矩阵A是可逆矩阵（C）A+E也可能不可逆（D）

2、A

3、=-63、设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵（P-1AP）T属于特征值λ的特征向量是（）。（A）P-1a；（B）PTa；（C）

4、Pa；（D）（P-1）Ta；4、设n阶方阵A相似于对角阵，则下列结论中正确的是（A）矩阵A是可逆矩阵（B）矩阵A是实对称矩阵（C）A有n个不同的特征值（D）A必有n个线性无关的特征向量5、设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则有（）。（A）λE-A=λE-B；（B）A与B有相同的特征值和特征向量；（C）A与B都相似于同一个对角矩阵；（D）对任意常数t，tE-A与tE-B相似。6、设矩阵，已知A～B，则秩（A-2E）与秩（A-E）之和等于（）。（A）2；（B）3；（C）4；（D）5二、填空题：61、矩阵的非零特征值是___________。2、设A为n阶矩阵，

5、A

6、≠0，A*为

7、A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值___________。3、设A为n阶反对称矩阵，设是A的一个特征值，则除之外必有另一特征值为______________4、设四阶矩阵A满足，其中E为四阶单位矩阵，则伴随矩阵必有一个特征值为______________5、已知三阶可逆方阵A的特征值是1，1，-5，则E+A-1的特征值是____________________。（其中E为三阶单位矩阵）三、设矩阵，且

8、A

9、=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为，求和λ0的值。四、设矩阵，已知有3个线性无关的特征向量，2是的二重特征值。试求可

10、逆矩阵，使为对角矩阵。五、已知是矩阵的一个特征向量。（1）试确定参数及特征向量所对应的特征值；（2）问A能否相似于对角矩阵？并说明理由。六、设矩阵A与B相似，且，（1）求的值；（2）求可逆矩阵P，使P-1AP=B七、设矩阵，问k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵？并求出P和相应的对角矩阵。6八、若矩阵相似于对角矩阵∧，试确定常数的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP=∧。九、设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是，。（1）求A的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A十、设矩阵，,已知线性方程组有解但不唯一。试求（1）的值；（2）正交矩阵Q

11、，使QTAQ为对角矩阵。十一、设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵，并计算行列式

12、A-E

13、的值。*十二、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将的熟练工支援其它生产部门，产生的缺额由新招收的非熟练工补齐。假设新、老非熟练工经过培训与实践，到年底考核时有的人成为熟练工。设第年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为和，（1）求矩阵和的关系；（2）当时，求。十三、设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵．证明：⑴.如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为．⑵.如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．6《线性代数》练习五参考答案一、1

14、、（A）2、（C）3、（B）4、（D）5、（D）6、（C）二、1、4；2、；3、；4、；5、2，2，三、解：因,左乘A有，即,所以代入得（1）加（3）得a=c，代入（1）得，代入（2）得又由于将a=c，代入得,所以四、解因为是3阶方阵，有3个线性无关的特征向量，故可对角化。这就要求齐次方程组的基础解系包含两个解向量。于是，只需使秩。因为故解得。因，故的特征值为2（二重）和6。对，解得基础解系；对，解得基础解系。令,则五、（1）；（2）A不能相似对角化。六、解：（1）因矩阵A与B相似，所以矩阵A与B有相同的特征值2（二重）和b6因此是的根，代入得a=5、所以所以,因此（2）七、；；∧=八、；；

15、∧=九、（1），（k为非零常数）；（2）十、（1）；（2）十一、*十二、（1）根据已知条件，由此得。6（2）令，则下面求：因为，故的特征值为1和。对，解得基础解系；对，解得基础解系。令,则,于是由此得。十三、证明：⑴.设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有．所以，，但是，所以，但，所以．⑵反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得．所以，但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对