《线性代数练习》doc版

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1、练习二一、判断下列命题是否正确，如正确，只需在题号前的括号内打√；如果错误，则在题号前的括号内打×，并只对有下划线的部分作适当修改，得出相应的正确命题（√）1.若n阶方阵A的秩满足，则（√）2.若方阵A满秩,则,其中为初等矩阵.（×）3.设有向量组若存在一组不全为零的数，满足，则向量组线性无关.将“存在一组不全为零的数”改为“对任意一组不全为零的数”（√）4.若矩阵A与B合同,且A为对称矩阵,则B也是对称矩阵.（×）5.如果对任意,代入二次型后,都使,则正定.将“”改为“不全为零的”二、填空题2.若三阶方阵A的行列式,则_________3.已知，所有与A可交换的矩阵为__________

2、__4.四元齐次线性方程组的一个基础解系为，，5.向量,的内积为2,则6.二次型的矩阵是，秩是_____3____第5页共5页2021/9/27.二次型正定时,应满足的条件是8.设，则三、计算题1.设，求.，2.设，，矩阵满足，求及设，3.给定向量组求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示..第5页共5页2021/9/2为极大无关组，4.设，求正交矩阵及对角矩阵,使特征值：，，，单位化，令，5.将二次型化为规范型,并写出可逆的线性替换.令，即二次型化为6.为何值时,下面线性方程组有解？当有无穷多个解时，用基础解系表示其全部解.第5页共5页2021/9/2当或时，

3、无解；当且时，有无穷多解，此时，，为一个特解，导出组：为导出组的基础解系，所求通解为五、证明题1.已知为三阶可逆矩阵，、、是三维列向量，且向量组线性无关，证明向量组也线性无关.设，即为三阶可逆矩阵，所以，向量组线性无关，从而故向量组也线性无关.2.设阶方阵可逆，证明也可逆，并求.3.如果阶矩阵可以对角化,证明也可以对角化矩阵可以对角化,即存在可逆矩阵，使得，其中为对角矩阵.,即从而也可以对角化.4.设A为阶实对称矩阵，Q为n阶正交阵，证明为对称阵.第5页共5页2021/9/25.设方阵满足,且,试证为正交矩阵.故为正交矩阵.第5页共5页2021/9/2