线性代数练习综合.doc

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1、线性代数综合练习时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。2．设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（）。（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。3．下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（）。（A）Rn中，坐标满足x1

2、+x2+…+xn=0的所有向量；（B）Rn中，坐标是整数的所有向量；（C）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；（D）Rn中，坐标满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1有一个特征值等于（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5．任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。（A）合同；（B）相似；（C）等价；（D）以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，则

3、B

4、=。2．已知线性方

5、程组无解，则=。3．若A=为正交矩阵，则=，=。4．设A为n阶矩阵，且

6、A

7、≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特征值λ，则（A*）2+E必有特征值。5．若二次型f=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是。三、（15分）设有齐次线性方程组：试问取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。四、（10分）设R3的两组基为：和，向量α=（2，3，3）T（1）求基到基的过渡矩阵；（2）求α关于这两组基的坐标。五、（15分）设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-2，λ2=1（2重），α1=（1，1，1）

8、T是属于λ1=-2的特征向量。试求：（1）属于λ2=1（2重）的特征向量；（2）A的伴随矩阵A*。六、（10分）设二次型通过正交变换化为：，求、。七、（10分）已知A，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？八、（10分）设为阶矩阵，且，其中是中元素的代数余子式（=1，2，…，n）。试证：的伴随矩阵*的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考答案一、选择题：1．（D）；2（A）；3．（A）；4．（B）；5．C）；二、填空题：1．；2．-1；3．±，；4．；5．-

9、三、解：A=（1）当=0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+x4=0由此得一基础解系为：，故全部解为：（其中为任意常数）……（7分）（2）当≠0时，当=-10时，r（A）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：，解之，可得一个基础解系为：y=（1，2，3，4）T，故全部解为：X=ky（其中k为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解∵

10、A

11、=（+10）3∴当

12、A

13、=0时，即=0或=-10时，齐次线性方程组有无穷解。四、解：（1）记B=（）=，C=（）=则有：从而，由基到基的过渡矩阵为：A=B-

14、1C=………………………（5分）（2）设α关于基的坐标为（）即：由此可得：，解之得：，故α关于基的坐标为（0，1，1），又∵=即α关于基的坐标为（1，1，2）…………………………（10分）五、解：（1）设A的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x1，x2，x3）T，则∵A是实对称矩阵，∴（x1，x2，x3）T与α1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A的属于λ2=1的全部特征向量为：k1α2+k2α3（k1，k2不同时为0）………………（5分）（2）∵A*=

15、A

16、A

17、-1∴A*的特征值为：

18、A

19、·（-），

20、A

21、·1（2重）又∵

22、A

23、=-2∴A*的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A*（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）A*=（α1，α2，α3）（α1，α2，α3）-1====……………………………………………（15分）六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：和于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：

24、λE-A

25、=

26、λE-B

27、…………（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a2-b2）λ+（a-b）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：∴…………………………………………

28、……………（10分）七、证明：∵2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A