线性代数综合练习题及答案.doc

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1、线性代数综合练习题（七）一、选择题1.设、为阶矩阵，则下面必成立的是（）。（A）（B）（C）（D）2.设为阶矩阵，且，则（）。（A）（B）（C）（D）3.设向量组的秩为3，则（）。（A）任意三个向量线性无关（B）中无零向量（C）任意四个向量线性相关（D）任意两个向量线性无关4.线性方程组，有解的充要条件是（）。（A）（B）（C）（D）5.阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是（）。（A）的个特征值互不相同（B）可逆（C）无零特征值（D）有个线性无关的特征向量二、填空题1.各列元素之和为0的阶行列式的值等于。2.设三阶矩阵，则。3.设矩阵，，则，，（为

2、正整数）。4.设，，则。5.设向量组线性无关，则向量组，，线性。6.设三阶可逆矩阵的特征值分别为2、3、5，则，的伴随矩阵的特征值为。7.设实二次型为正定二次型，则参数的取值范围是。三、计算题1.设，求矩阵。2.当取何值时，线性方程组有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。3.设四维向量组，，，，，求该向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。4.求一个正交变换，将实二次型化为标准形，并判断该二次型是否正定。四、证明题1.设为阶矩阵，如果，则。2.设阶矩阵，（为正整数），则不能与对角矩阵相似。线性代数

3、综合练习题（七）参考答案一、选择题1.D2.B3.C4.A5.D二、填空题1.2.3.,,4.25.无关6.30，15，10，67.三、计算题1.解：.2.解：线性方程组的系数行列式，（1）当，即且时，方程组有惟一解；（2）当时，，方程组无解；（3）当时，因为，所以方程组有无穷多解，且通解为，为任意实数.3.解：，所以，为向量组的一个极大线性无关组，且，4.解：二次型的矩阵，的特征多项式，所以的特征值为，，.对应的线性无关的特征向量为，单位化得；对应的线性无关的特征向量为，单位化得；对应的线性无关的特征向量为，单位化得.所求正交变换为，二次型的

4、标准形为，因为，所以该二次型不是正定二次型.四、证明题1.证：由，得，则；又，所以.2.证：反证法，假设与对角矩阵相似，则存在可你矩阵，使得，则，从而，所以，，…，，因而，这与矛盾，故不能与对角矩阵相似.