高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案(含解析)新人教A版选修.doc

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1、3.1.2　复数的几何意义[学习目标]1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．2．掌握实轴、虚轴、模等概念．3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．[知识链接]1．下列命题中不正确的有________．(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数能进行开偶次方根运算；答案　(5)2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用

2、来表示复数的几何模型呢？答案　由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．[预习导引]1．复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量＝(a，b)．2．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作

3、z

4、，且

5、z

6、＝.要点一　复数与复平面内的点例1　在复平面内，若复

7、数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(2)由题意，，∴2

8、决定了复数实部、虚部的取值特征．跟踪演练1　实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3，或m>5，所以当m<－3，或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，得m＝1，或m＝－，所以当m＝1，或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．要点二　复数的模及其应用例2　已知复数z＝3＋ai，且

9、z

10、<4，求实数a的取值范围．解　法一　∵z＝3＋ai(a∈R)，∴

11、z

12、＝，由已知得32＋a2<42，∴

13、a2<7，∴a∈(－，)．法二　利用复数的几何意义，由

14、z

15、<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知：－

16、z1

17、＝＝5，

18、z2

19、＝＝.∵5>，∴

20、z1

21、>

22、z2

23、.要点三　复数的模的几何意义例3　设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图

24、形？(1)

25、z

26、＝2；　(2)

27、z

28、≤3.解　法一　(1)∵复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件

29、z

30、＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件

31、z

32、≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．法二　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)

33、z

34、＝2，∴x2＋y2＝4，∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)

35、z

36、≤3，∴x2＋y2≤9.∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．规律方法　例3的法一是根据

37、z

38、表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．法二是利用模的定义，把复数问题转

39、化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．跟踪演练3　已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？解　∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，∴z的实部为正数，虚部为负数，∴复数z所对应的点在第四象限．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2(x≥