高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义学案新人教a版选修2

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1、3.1.2复数的几何意义一、课前准备1．课时目标⑴理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系；⑵掌握复数的几何意义，以及复数模的计算方法；⑶会利用复数的几何意义，解决一些问题．2．基础预探⑴建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_____________，轴叫做_____________，轴叫做_____________．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示_____________．⑵复数_____________，复数_____________．⑶向量的模叫做复数的模，记作_____________．如果，那么是一个实数，它的模等于_____________（就是

2、的绝对值）．由模的定义可知：_____________（）；复数的模的几何意义为_____________．二、学习引领1．正确认识复平面以及注意事项①任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．②复数用复平面内的点表示．复平面内的点的坐标是，而不是，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点都是表示纯

3、虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．由此可见，复平面与一般的坐标平面的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．④复数中的z，书写时小写，复平面内点中的，书写时大写．2．对复数的几何意义的理解①复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应②复平面内的点表示复数，表示坐标原点,连接,若把有向线段(由指向)看成向量,记作,则复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量所成的集合是一一对应的.这样,就可用向量表示复数．三、典例导析题型一复

4、数与点的对应关系例1在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）思路导析：先将复数化为标准形式，然后利用复数与点的对应关系，建立不等式求解实数的取值范围．解析：复数可化为，又所对应的点在第二象限，∴解之得，∴，故选D．规律总结：复数问题实数化是解决复数与点的对应关系问题的最基本，也是最重要的思想方法，即在复平面内，根据复数对应的点的位置，建立方程组（不等式组）解决问题．【变式练习1】如果复数在复平面内的对应点在第四象限，则（）（A）（B）（C）（D）题型二复数与向量的对应关系例2设是坐标原点，分别对应复数和，则向量对应的复数为（）（A）（B）（

5、C）（D）思路导析：先依据向量知识求解，然后利用复数与向量的对应关系，转化为复数．解析：由向量的减法知，．∴向量对应的复数为，故选A．规律总结：对于复数与向量的对应关系问题，一般地，先将复数问题转化为向量问题，运用向量知识进行求解，最后再转化为复数解决问题．【变式练习2】已知两个向量，对应的复数是和，求向量与的夹角．题型三复数的模例3已知复数的模为10，虚部为，则复数__________．思路导析：根据复数的模长公式：建立方程（组），求解的值解决问题．解析：设，又，∴，∴，∴，故填或．规律总结：对于复数的模长计算型问题，主要涉及两类问题：①直接计算型问题，就是直接利用公式计算；②间

6、接运用型问题，就是运用公式，借助待定系数法求解的值或其间关系．【变式练习3】如果，则__________．题型四复数的模及其几何意义的运用例4设，，，若，求复数在复平面内对应点的轨迹．思路导析：求复数在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义，只需求出所满足的条件即可．解析：∵，∴，∴，由，得，即，∴．又，，∴等价于且．∴，由模的几何意义知，复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．规律总结：复数的模的几何意义主要应用于求解复数在复平面内对应点的轨迹问题，通常从两方面来处理：①任何复数的模都表示一个非负的实数，因此借助实数的运算法则求解；②复数的模表示该复数在复平面

7、内对应点与原点的距离，常常利用圆、椭圆、双曲线、抛物线、线段的垂直平分线的定义判断轨迹类型．【变式练习4】满足条件的复数在复平面内对应点的轨迹是（）（A）一条直线（B）两条直线（C）圆（D）椭圆四、随堂练习1．设复数对应的点位于复平面的虚轴的右侧，则（）（A）（B）（C）（D）2．对于复平面，下列命题中假命题是（）（A）实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上（B）虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上（C）第一象限的点都表示实部为正数的虚数（D）实部为