高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、3．1.2　复数的几何意义复数的几何意义[提出问题]平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应．问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？提示：一一对应．问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应．问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？提示：由问题1,2可知能一一对应．[导入新知]1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做

2、虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量＝(a，b)．3．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、，且

7、z

8、＝.[化解疑难]探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示：[注意]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应点的坐标不是(

9、a，bi)，而是(a，b)，做题时要注意这一点．复数与复平面内点的一一对应[例1]　实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z满足下列条件？(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．[解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．(2)当实数x满足即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．[类题

10、通法]探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则：(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．[活学活用]在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点分别满足下列条件，求复数z：(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴

11、上．解：(1)若复数z对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，此时，z＝6i或z＝0.(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，则解得m＝1，所以z＝－2.复数与平面向量的一一对应[例2]　(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)A．－5＋5i　　　　　B．5－5iC．5＋5iD．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量，，对应的复数；②判定△ABC的形状．[解析]　(1)选B　向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2

12、i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.(2)①由复数的几何意义知，＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，∴＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，∴，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②∵

13、

14、＝，

15、

16、＝2，

17、

18、＝，∴

19、

20、2＋

21、

22、2＝

23、

24、2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．[类题通法]复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当

25、平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[活学活用]在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点

26、A的坐标为(2,1)．根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)