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《十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题20 空间向量 试题精选及解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题20空间向量1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22【答案】C【解析】如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,不妨设BC=CA=CC1=1,可知点A(0,1,1),N0,12,0,B(1,0,1),M12,12,0.∴AN=0,-12,-1,BM=-12,12,-1.∴co
2、s=AN·BM
3、AN
4、
5、BM
6、=3010.根据AN与BM的夹角及AN与BM所成角的关系可知,BM与AN所成角的余弦值为3010.2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( )A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),67A1(a,0,a),P23a,23a,13a,则
7、
8、PB
9、=19a2+19a2+19a2=33a,
10、PD
11、=49a2+49a2+19a2=a,
12、PD1
13、=49a2+49a2+49a2=233a,
14、PC1
15、=
16、PA1
17、=49a2+19a2+49a2=a,
18、PC
19、=
20、PA
21、=49a2+19a2+19a2=63a,
22、PB1
23、=19a2+19a2+49a2=63a,3.(2012·陕西·理T5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35【答案】A【解析】不妨设CB=1,则CA=CC1=2.由题图知,A点
24、的坐标为(2,0,0),B点的坐标为(0,0,1),B1点的坐标为(0,2,1),C1点的坐标为(0,2,0).所以BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1).所以cos=0×(-2)+2×2+(-1)×135=55.4.(2010·大纲全国·文T6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,67则B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0
25、,0),C1(-1,0,1),∴BA1=(0,1,1),AC1=(-1,0,1).∴cos=BA1·AC1
26、BA1
27、
28、AC1
29、=12×2=12.∴=60°.∴异面直线BA1与AC1所成的角为60°.5.(2019·天津·理T17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值为13,求线段CF的长.【解析】(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以AB,AD,AE的方向
30、为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).依题意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE.(2)解依题意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,67则n·BD=0,n·BE=0,即-x+y=0,-x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).
31、因此有cos=CE·n
32、CE
33、
34、n
35、=-49.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.(3)解设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则m·BD=0,m·BF=0,即-x+y=0,2y+hz=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2h.由题意,有
36、cos
37、=
38、m·n
39、
40、m
41、
42、n
43、=4-2h32+4h2=13,解得h=87,经检验,符合题意.所以,线段CF的长为87.6.(2019·浙江·T19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是
44、AC,A1B1的中点.(1)证明:EF
