十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题19 不等式选讲 试题精选及解析.docx

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1、十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c

2、+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=

3、x-a

4、x+

5、x-2

6、(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=

7、x-1

8、x+

9、x-2

10、(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(

11、x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]12设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[

12、(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a

13、)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=

14、x+1

15、-

16、ax-1

17、.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=

18、x+1

19、-

20、x-1

21、,即f(x)=-2,x≤-1,2x,-11的解集为xx

22、>12.(2)当x∈(0,1)时

23、x+1

24、-

25、ax-1

26、>x成立等价于当x∈(0,1)时

27、ax-1

28、<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时

29、ax-1

30、≥1;若a>0,

31、ax-1

32、<1的解集为0

33、x+a

34、-

35、x-2

36、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=2x+4,x≤-1,2,-12.可得f(x)

37、≥0的解集为{x

38、-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于

39、x+a

40、+

41、x-2

42、≥4.而

43、x+a

44、+

45、x-2

46、≥

47、a+2

48、,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于

49、a+2

50、≥4.由

51、a+2

52、≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=

53、2x+1

54、+

55、x-1

56、.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.(2)由(1)知

57、,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分