八年级数学下册 期末复习(二)勾股定理学案 (新版)新人教版.doc

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1、期末复习(二)　勾股定理01　　知识结构勾股定理02　　典例精讲命题点1　勾股定理的证明【例1】　以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．　图1　　　　　　　　　　图2【思路点拨】　利用梯形面积的两种算法列出等式证明．【解答】　∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴

2、(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.整理得a2＋b2＝c2.【方法归纳】　勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成图形的示意图；(2)证明勾股定理．解：(1)如图．(2)证明：用大正方形的面积证明．c2＝(b－a)2＋4×ab＝b2＋a2.命题点2　勾股定理与逆定理【例2】　如图，每个小正方形的

3、边长为1.(1)求四边形ABCD的周长；(2)求证：∠BCD＝90°.【思路点拨】　(1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．【解答】　(1)根据勾股定理可知：AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四边形ABCD的周长＝8＋2.(2)证明：连接BD.∵BC＝，CD＝，DB＝2，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°.【方法归纳】　正方格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一

4、种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明．2．(白银中考)等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则BC边上的高是8cm.3．如图，已知：在正方形ABCD中，E是BC中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.请判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由解：EF与DE垂直，即EF⊥DE.理由如下：连接DF，设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AF＝a，BF＝a，BE＝EC＝a.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a

5、2.在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝a2.∵DE2＋EF2＝a2＋a2＝a2＝DF2，∴△DFE为直角三角形．∴EF⊥DE.命题点3　勾股定理在实际生活问题中的应用【例3】　如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．【思路点拨】　过点C作CE⊥AD于点E.设BE＝x，先根据等腰三

6、角形的判定得出BC的长，再在Rt△BCE中，利用勾股定理和直角三角形中30°角的性质求出x的值即可．【解答】　过点C作CE⊥AD于点E.由题意得，AB＝30m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°.∴AB＝BC＝30m.设BE＝x，在Rt△BCE中，∵∠CBD＝60°，BC＝30，∴∠BCD＝30°.∴BC＝2x，则CE＝x.又∵BC2＝BE2＋CE2，即900＝x2＋3x2.解得x＝15，则CE＝15m.答：小河的宽度为15m.【方法归纳】　利用勾股定理解决生活中的实

7、际问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解．4．如图所示，某三条公路的交叉地带是一个三角形，经测量这个三角形的三边长分别是AC＝130m，BC＝140m，AB＝150m，市政府准备将其规划为绿化用地，请求出这块绿化地的面积．解：过点A作BC边上的高AD.设BD＝x，则CD＝140－x.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝1502－x2.在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝1302－(140－x)2.∴1502－x2＝1302－(140－x)2.

8、解得x＝90.∴AD＝＝120.∴S△ABC＝BC·AD＝×140×120＝8400(m2)．答：这块绿化地的面积为8400m2.命题点4　图形的折叠与勾股定理【例4】　如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝6.【思路点拨】　在Rt△EFC中，先根据折叠的性质和勾股定理求出CF的长．再设BF＝x，并用含x的代数式表示出AF，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求出BF的长．【方法归纳】　解决有关折叠的问题时，通常利用勾股定理