八年级数学下册期末复习（二）勾股定理学案（新版）新人教版

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1、期末复习（二）勾股定理知识结构「勾股定理——直角三角形边长的数量关系勾股定理f互逆定理一勾股定理的逆定理——直角三角形的判定02典例精讲命题点1勾股定理的证明【例1】以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）,请你利用图2,验证勾股定理.【思路点拨】利用梯形面积的两种算法列出等式证明.【解答】•・•化△ABE9RtECD,・•・ZAEB=ZEDC.又ZEDC+ZDEC=90°,AZAEB+ZDEC=90°.AZAED=90°.•/S梯形ABCD=S/AABe+S乳ZiDEc+S处△AEO,整理得a+b2=c2.

2、【方法归纳】勾股定理的证明方法是用而积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的而积.题组训练1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三•角形（两直角边长分别是a、b,斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.（1）画出拼成图形的示意图；(2)证明勾股定理.解：⑴如图.(2)证明：用大正方形的面积证明.c2=(b—a)2+4X^ab=b2+a2.命题点2勾股定理与逆定理【例2】如图，每个小正方形的边长为1.(1)求四边形ABCD的周长；(2)求证：ZBCD=90°.【思路点拨】(1)利用勾股定理求岀四边形的各边长；

3、(2)求出ABCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明.【解答】⑴根据勾股定理町知：AB=3迈，BC=0,CD=妁,AD=5边,・•・四边形ABCD的周长=8^2+2^34.(2)证明：连接BD.・.・BC=0,CD=回,DB=2如,.-.bc2+cd2=bd2・•••△BCD是直角三角形,即ZBCD=90°.【方法归纳】正方格屮的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一-种思路.本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等來证明.题组训练1.（白银中考）等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的

4、高是“佩2.如图，已知:在正方形ABCD'I',E是BC中点,F在AB上,且九F：FB=3：1・请判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理山FB解:EF与DE垂直,即EF丄DE•理由如下:连接DF,设正方形边长为a,则311AD=DC=a,AF=Ta,BE=EC=~a.44225在/TfADAF屮，DF2=AD:-+AF2=77alb5在/?fACDE中，DE2=CD2+CE2=-a2・5在危ZEFB中,E『=FB2+BE2=—a2.16*.*DE2+EF2=加4—~a2=y^a2=OF2,41616AADFE为直角三角形.・・・EF丄DE.命

5、题点3勾股定理在实际生活问题中的应用【例3]如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得ZCAD=30°；小丽沿岸向前走30刃选取点B,并测得ZCBD=60°•请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.【思路点拨】过点C作CE丄AD于点E.设BE=x,先根据等腰三角形的判定得出BC的长，再在^ABCE»P，利用勾股定理和直角三角形屮30。角的性质求出x的值即可.【解答】过点C作CE丄AD于点E.由题意得,AB=30/〃，ZCAD=30°,ZCBD=60°,AZ

6、ACB=ZCAB=30°.AAB=BC=30m.设BE=x,在iVfABCE中，VZCBD=60°,BC=30,.-.ZBCD=30°.・・・BC=2x,则CE=gx.又VBC2=BE2+CE2,即900=xz+3x2.解得x=15,则CE=15gm.答：小河的宽度为15萌in.【方法归纳】利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利川勾股定理求解.题组训练1.如图所示，某三条公路的交义地带是一个三角形，经测量这个三角形的三边长分别是AC=130/〃，BC=140/〃，AB=150///,市政府准备将其

7、规划为绿化用地，请求出这块绿化地的而积.解:过点A作BC边上的高AD.设BD=x,则CD=140-x.在RtABD中,AD2=AB2-BD2=1502-x2.在处ZXACDAD2=AC2-CD2=1302-(140-x)2.・・・1502-x2=1302-(140-x)2.解得x=90.AAD=^/1502-x2=120..•.Saabc=

8、bC・AD=

9、x140X120=8400(/).答：这块绿化地的面积为8400nf.命题点4图形的折叠与勾股定理【例4】如图，•将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,已知CE=3,AB=8,则

10、BF=6.D【思路点拨】在^AEFC中，先根据折叠的性质和勾股定理求出CF的长.