江苏省南通市通州区2012年高二数学暑假补充练习 单元检测三 函数与导数.doc

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1、高二数学暑假自主学习单元检测三函数与导数一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．曲线在点（0,1）处的切线方程为．2．函数的单调增区间是．3．函数在区间上的最大值是．4．已知曲线在点（1，处的切线斜率为-2，且是函数的极值点，则．5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足，则．6．已知函数的导函数为，且满足，则．7．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子容积的最大值是．8．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为．9．已知函数．若函数在区间（-1,1）上不单调，则实数的取值范围为．10．设函数若x=1是

2、的极大值点，则实数a的取值范围是．11．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则实数a的取值范围是．12．函数的定义域为R.，对任意的，，则的解集为．-10-用心爱心专心13．已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数k的取值范围是．14．已知函数在处的切线斜率为零，若函数有最小值，且，则实数的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．16．(本小题满分14分)已知函数，.（1）如果函数在上是单调函

3、数，求（1）的取值范围；（2）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．-10-用心爱心专心17．(本小题满分14分)某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段AB的长度表示为的函数；（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁ABCPθ2m2m棒的粗细忽略不计）．18．(本小题满分16分)设.（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求使得对任意恒成立的实数的取值范围.-10-用

4、心爱心专心19．(本小题满分16分)已知函数．（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？20．(本小题满分16分)设（1）当时，设是的两个极值点，①如果，求证：；②如果时，函数的最小值为，求的最大值．-10-用心爱心专心（2）当时，①求函数的最小值；②对于任意的实数，当时，求证高二数学暑假自主学习单元检测三参考答案一、填空题：1．答案：解析：依题意得，曲线在点（0,1）处的切线的斜率等于2，因此该切线方程是．2．答案：解析：的定义域为，则由得，当时，在上单调递增．3．答案：解析：函

5、数的定义域为.因为，所以函数在区间上单调递增，则当时,函数取得最大值．4．答案：10解析：由题意得，故，解得．5．答案：-2解析：∵，∴为奇函数，∴6．答案：6解析：由题意得，，，．7．答案：144cm3解析：设小正方形边长为xcm，则盒子容积V(x)＝x(10－2x)(16－2x)＝4(x3－13x2＋40x)(0＜x＜5)．V′(x)＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)．令V′(x)＝0，解得x＝2或.但，∴x＝2，∵极值点只有一个，可判断该点就是最大值点．∴当x＝2时，V(x)最大，V(2)＝4(8－52＋80)＝144.-10-用心爱心专心8．答案：c

6、

7、；在上单调减，．14．答案：解析：．当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围是．二、解答题：15．解：（1）当时，，.-10-用心爱心专心，．………3分所以所求切线的方程为………5分（2）令得，由于，，的变化情况如下表：+0—0+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数的单调递增区间是和.…………9分要使在区间上单调递增，应