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时间:2020-06-29
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1、复数的运算一、数系的扩充和复数的概念 1.复数的引入:回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面:一方面数学本身发展的需要;另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者. 我们知道,方程在实数范围内无解,于是需引入新数i使方程有解,显然,需要. 数系的扩充过程:自然数集整数集有理数集实数集复数集. 2.复数的代数形式:由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算,于是得到:形如的数叫做复数,并且把的这一表现形式叫做复数的代数形式,其中的a叫做复数的实部,b叫复数的虚部.注意复数的虚部是,而不是. 3.复数相等的充要条件 且 注意事项: (
2、1)复数 (2)复数集 (3)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,则不能比较大小.二、复数的几何意义 1.复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示,于是: 复数集与坐标系中的点集,可以建立一一对应. 2.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点对应复数0.于是有下面的一一对应关系:复数复平面内的点. 3.由于平面向量与坐标平面的点一一对应,于是有: 复数平面向量.4用心爱心专心 在这些意义下,我们就可以把复数说成点或向量,这给研究
3、复数运算的几何意义带来了方便. 4.复数的模就是这个复数对应的向量的模,复数的模为. 三、复数代数形式的四则运算 1.复数的加法、减法 ①运算法则. 其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律 对于任意的,有: 交换律:. 结合律:. ③复数加法的几何意义 设,分别与复数,对应,根据向量加法的平行四边形(三角形)法则,则有(如图1). 由平面向量的坐标运算:,即得与复数对应. 可见,复数的加法可以按向量加法的法则进行. ④复数减法的几何意义 设,分别与复数,对应(如图2), 根据向量加法的三角形法则有:. 于是:. 由
4、平面向量的坐标运算:,即得与复数对应.4用心爱心专心 于是得到向量的减法运算法则为:两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应. 2.复数代数形式的乘法运算 ①运算法则:. 两个复数相乘类似于两个多项式相乘,只是把换为,并且把实部与虚部分别合并即可. ②运算律:交换律:. 结合律:. 分配律:. ③虚数i的乘方及其规律:,,,,,,,,. 可见,,,,,即具有周期性且最小正周期为4. ④共轭复数 与互为共轭复数,即当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. 它的几何意义是:共轭的两个复数关于x轴对称
5、.主要用于复数的化简以及复数的除法运算. 3.复数代数形式的除法运算 运算法则:. 其实质是分母“实数化”,即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”.4用心爱心专心4用心爱心专心
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