高中数学《导数在研究函数中的应用》文字素材5 新人教A版选修2-2.doc

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1、用导数法求“双二次函数”的单调区间更简单有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法.下面对两种解法作一比较.例，则在A．上递减B．上递减C．上递增D．(0,2)上递增解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法思路点拨容易知道在上递增，在上递减，为讨论在及上的单调性，必须先解不等式：得，得或.当时，

2、，递减；又在上递增，在上递减，故在上递减，在上递增；当或时，，递增，又在上递增，上递减，故在上递增，在上递减.故选A.把上面的叙述整理成下面的表格：的范围递增递减递增递减的范围递减递增递减递增递增递减评注：讨论“双二次函数”的单调性的根据是：设都是单调函数，则在上也是单调函数.(1)若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同；(2)若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.解法二：利用导数法求单调区间8用心爱心专心解∵∴∴当或时，.当或时，.∴当或时，递增.当或时，递减.故选A评注：该题直接用导数法求函数的单调

3、区间，简明快捷.运用导数解决有关单调性问题一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f'(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有三类问题：①运用导数判断单调区间或证明单调性；②已知单调性求参数；③先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题．下面举例说明．一、求单调区间或证明单调性单调区间的求解过程：已知（1）分析的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．例1求下列

4、函数单调区间（1）（2）8用心爱心专心（3）（4）解：（1），时∴，为增区间，为减区间．（2），∴，为增区间．（3），∴，．，∴，为增区间；，减区间．（4），定义域为减区间；增区间．二、已知单调性求参数例2求满足条件的：（1）使为上增函数．（2）使为上增函数．解：（1），∴，时，也成立．8用心爱心专心∴（2），，时，也成立．∴三、证明不等式若，⑴恒成立，∴为上．∴对任意不等式恒成立（2）恒成立，∴在上∴对任意不等式恒成立例3求证下列不等式（1）（2）证：（1）原式，令．又，，∴，∴，，，，∴（2）令，．，．∴

5、∴．8用心爱心专心重视导数应用的热点题型导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1．求切线斜率根据导数的几何意义，函数在点处的导数是曲线在点处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.例1求曲线在点处的切线方程.分析利用隐函数求导法则，得出在点处的切线斜率，从而可求出切线方程.解对方程两边关于求导，得.解之得.易知点在曲线上，.∴曲线在点处的切线方程为，即.评注：(1)两边对求导，特别要注意是的函数.(2)

6、隐函数的导数表达式中常包含，两个变量.2．求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数在某个区间内可导，如果导数，则函数在这个区间上为增函数；如果导数，则函数在这个区间上为减函数.例2(2004全国卷Ⅰ理)已知求函数的单调区间.解函数f(x)的导数：（I）当时，若，则<0，若,则>0.8用心爱心专心所以当时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II）当由所以，当时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

7、（III）当时，由，解得,由，解得或.所以当时，函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.3．求极值利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数在点处连续且.若在点附近左侧，右侧，则为函数的极大值；若在点附近左侧，右侧，则为函数的极小值.例3已知函数，当，时，取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求，的值；(2)求的极大值和极小值.解(1).∵时有极值，则.∴代入得.且.对任意实数成立，∴.∴.8用心爱心专心＋0－0＋极大极小∴当时取得极大值，时取极小值.即∴.再

8、由，解出，.(2)为极大值，为极小值.4．求最值在闭区间上连续的函数，在上必有最大值与最小值，设函数在上连续，在内可导，先求出在内的极值，然后将的各极值与、值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4(2004湖南理)已知函数为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.解（Ⅰ）（i）当时，令若上单调递增；若上单调递减.（ii）当a<0时，令若上单调递