高中数学 《合情推理与演绎推理》素材1 苏教版选修2-2.doc

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1、合情推理与演绎推理归纳推理是从个别事实推演出一般性结论的推理．由于归纳推的特点，导致了归纳推理问题的产生情境也比较特别，很多情况下，归纳推理总是与图形联系在一起．请看：1．分辨图形出现的归纳推理例1　定义的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4）．那么，上图中（5）、（6）可能是下列______中运算的结果（　　）（A），　　　　（B），（C），　　　　　（D），分析：根据（1）、（2）、（3）、（4）可知：对应———；对应□；对应

2、；对应○．由此可知选（B）．点评：善于观察是处理此类问题的重要一环．本题中第一个图是哪两个几何图形构成？第二个图又是

3、哪两个几何图形构成？…．于是，很快便发现A，Ｂ，Ｃ，Ｄ可能对应的图形，从而使问题获解．2．运动图形出现的归纳推理例2　如图：一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到，然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向向右、向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2006秒时，这个粒子所处的位置；分析：第一层有三个整点（除原点）共用3秒；第二层有五个整点共用5秒；第三层有七个整点共用7秒，…，第n层共有个整点，共用秒；假设第2006秒时粒子运动在第层．那么前n层共用秒数，由此得最大，且当时，．于是，第2006秒时，粒子在第44层，且在第71个出现，根据规律我

4、们知道第44层将从点（44，0）开始，那么（44，0），（44，1），…，（44，43），（44，44），（43，44），（42，44），（41，44），…，（18，44）共71个．因此，第2006秒时，这个粒子所处的位置为（18，44）．点评：要发现规律，必须认真研究问题的初始阶段，它是“退一步”思考问题策略的具体体现．本题就是通过认真分析前三层才发现规律，并利用规律促使问题获解的．3．图形游戏出现的归纳推理例3　用火柴棒按下图的方法搭三角形：6用心爱心专心按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是______．分析：第一个图有

5、三根火柴，以后每一个图总比前一个图多一个三角形，其实，就多了两根火柴，于是答案为：．点评：善于从游戏中抓住本质是解决问题的关键．本题求火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系，只要细心一点获解就没问题．4．打印图形出现的归纳推理例4　一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中实心圆的个数为______．分析：将这些圆分段处理，第一段两个圆、第二段三个圆、第三段四个圆、…，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题是求前2006个圆中有多少个实心圆，因此

6、，找到第2006个圆所在的段数很重要．由，而，因此，共有６１个实心圆．点评：发现规律是解决此题的关键所在．而“分段”正中下怀，它使规律很清楚的显现出来，让我们操作“轻松”，求解“愉快”．《推理与证明》中的数学思想方法数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略，有着广泛的应用．有关《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想方法，若根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想方法，往往能迅速找到解题思路，从而使问题简捷、准确地获解．一、类比思想所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似，从而推断出这两个

7、对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式．“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线．例1　在中，两直角边，，斜边上的高为，则．该结论的证明很简单．类比它，在立体几何中有何发现？我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：在三棱锥中，若三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为6用心爱心专心，顶点到底面的距离，则．注意：这只是由类比得到的一个猜想，是否成立还须证明．证明：如右图，延长交于，连结，∵，，∴平面，∴，．∵平面，∴，∴平面，∴．∵，∴在中，在中，∴，即．结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直．点评：在本题求解中，我们根据平面几何中的

8、一个结论，运用类比思想，在四面体中猜想出具有类似数学特点的结论，并用演绎推理的方法给出了简要证明．作为一种创新题型，类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景．二、转化思想转化思想就是在解决数学问题时，将有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题，并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答．分析法是证明命题的一种方法，当问题直接证明思路不明显时，常常考虑运用分析法．而运用分析法解题的关键是将结论适当转化．例2　设实数满足，若，求证：．分析：直接证明思路不明显，因此可以先结合条件将结论适当转化．由，只需转化为证．又，因此只需转

9、化为证明．再由转化为证明．因此运用分析法即可简捷得证