2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 球.doc

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1、9.11球【知识点精讲】O•1、球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。2、球的截面圆的性质：①球心到截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2－d2。3、两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。求两点的球面距

2、离的方法：将A、B两点与球心O连线，先求出弦长AB，在三角形ABO中求出∠AOB的弧度数，由公式弧长l=θR得到。4、球的表面积与体积：S球面=4πR2，V=4/3πR3。5、地球上的经度与纬度各指什么？6、与球有关的结合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。重点难点:球面与球体的有关概念、性质与计算公式是重点，球面上两点间的距离是本小节的难点。OABO1如图9.11－1【例题选讲】例1：如图，在北纬450的纬度圈上有A，B两点，它们分别在东经

3、700与东经1600的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离。解：如图设北纬450圈的圆心为O1，地球球心为O，则∠AO1B=1600-700=900，∠OBO1=450，OB=R，∴O1B=O1A=ABR，AB=R，连接AO、AB，则AO=BO=AB=R，∴∠AOB=600，∴=。思维点拨：为求A、B两点间的球面距离，要把它组织到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数便可求得球面距离。•OBACD变式：地球上A，B两点分别在北纬600与300圈上，且经度差为1200，设地球的半径为R，

4、求A，B两点的球面距离。解：如图，连接AO、BO，∵A，B分别在北纬600与300圈上，∴AC=Rcos600=R/2，OC=Rsin600=R，BD=Rcos300=R，OD=Rsin300=R/2，CD=OC－OD=R，又∵A，B两点的经度差为1200，即平面AOC与平面BOD所成的二面角为1200，∴AB2=AC2+BD2+CD2－2•AC•-3-用心爱心专心BDcos1200==(2－)R2。∴cos∠AOB===。∴所球距离为Rarccos。OO1O2例2：在球内有相距9cm的两个平行截面，

5、面积分别为49πcm2、400πcm2，则求的表面积为__________。解：作球的一个大圆O，当两个截面在球心O的同侧时，解得R=25。当两个截面在球心O的两侧时无解。∴S表=2500πcm2。思维点拨：立体几何中的相互位置关系，也应注意分类讨论。A1ACC1•Oθ例3：求半径为R的球内接长方体体积的最大值。解：作截面ACC1A1，设∠CAC1=θ，则C1C=2Rsinθ，AC=2Rcosθ，所以AB=Rcosθ。故V=AB2×CC1=2R2cos2θ×2Rsinθ=4R3×cos2θsinθ=≤

6、。当且仅当2sin2θ=cos2θ，即tanθ=时取“=”。思维点拨：立体几何中的最值问题，首先确定目标函数再求其最值。例4：已知球的半径为R，在球内作一内接圆柱，这个圆柱的底半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值为多少？OCAB解：作轴截面图，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则，即h=，∴S=2πrh=4πr=4π=2πR2，取等号时，内接圆柱底面半径为R，高为R。选讲题：一个球内切于正三棱锥P－ABC。（1）若棱锥的侧面与底面所成的角为600，求棱锥的体积与球的体积之比；ABC

7、DPOQAODQPAODQP（甲）（乙）（2）若棱锥的体积与球的体积之比等于（1）所求出的值，则棱锥的侧面与底面所成的角是否一定为600，说明理由。解：（1）如图甲，由对称性可知，球心Q在棱锥的高PO上，取BC的中点D，则PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角，即有∠PDA=600。∵P－ABC是正三棱锥，∴-3-用心爱心专心O在AD上，故球心Q在平面PAD内。故过P，A，D三点的截面如图乙，其中圆Q是球的一个大圆。设底面ABC的边长为a，由DQ平分∠PDA得R=OQ=OD•

8、tan300=a•tan300=，又PO=OD•tan600=，∴。（2）设正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为2α，仿（1）得，由题设得=，即tan2α=9tan3α。化简并整理可得tan2α=1/3或tan2α=2/3。又α为锐角，∴tanα=或tanα=，即2α=或2arctan，故棱锥侧面与底面所成的二面角未必为。思维点拨：1）组合体问题常涉及球与多面体的切、割、接等关系，解题的关键是作一个恰当地过球心的截面，使有关元素集中在包括一个大圆在内的截面