2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 棱锥.doc

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1、棱锥知识精讲:1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。2、性质Ⅰ、正棱锥的性质(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。Ⅱ、一般棱锥的性质定理如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。3、棱锥的体积V=Sh，其S

2、是棱锥的底面积，h是高。注意：一个是由棱锥的侧棱和棱锥的高构成的直角三角形，另一个是由棱锥的斜高和棱锥的高构成的直角三角形，这两个直角三角形把棱锥的侧棱，侧棱与底面所组成的角、高、斜高，侧面与底面所成角都集中在同一个平面，有效地实现了立体问题向平面问题的转化。所以这两个“截面”（直角三角形）是解棱锥问题的“钥匙”。二、问题讨论例1、下列几个命题,正确的有哪几个?(1)、各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥（2）、底面是正多边形的棱锥是正棱锥（3）、棱锥的所有面可能都是直角三角形（4）、四棱锥中侧面最多有四个直角三角形（5）、三

3、条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥（6）、顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥解：正确的有（3）（4）（6）练习:（全国高考题）若一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则这个棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D。若满足条件的正棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是600，其和为3600，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾。[思维点拔]本题重点考查棱锥的概念和正棱锥的性质。【棱锥中的线面关系】例2、棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面是PAB，PAD都垂直于底面，另两侧面

4、与底面成450角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm。求：(1)棱锥的高；(2)底面中心O到平面PMN的距离。NPDCBMAGHQ解答：如图(1)设高为h，由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA⊥底面AC。又∠PBA=450，∴PA=AB=h，AC=h-4-用心爱心专心由PA2+AC2=PC2及PC=15，得h=5（cm）；(2)∵BD⊥AC，BD⊥PA∴BD⊥平面PAQ又NM∥BD∴MN⊥平面PAQ∴平面PAQ⊥平面PMN作OH⊥PQ于H，则OH之长即为所求。作AG⊥PQ于G。在Rt△PAQ中，AQ=AC=h

5、PQ==h∴AG==h再由==，得OH=AG=h=（cm）[思维点拔]棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系。由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键。例3、如图所示，在正三棱锥S-ABC中，过底面顶点B和侧棱SA、SC上的E、F点作一截面BEF和侧面SAC垂直。(1)若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比；(2)若AB=8，斜高h1=。求截面BEF的最小面积。解答：(1)由正三棱锥S—ABC中，E、F分别为SA、SB的中点∴

6、SE=SF，∠ESB=∠FSB∴△SEB≌△SFB∴BE=BF，设G为EF的中点，连结BG、EF，则BG⊥EF，又平面BEF⊥平面SAC。∴BG⊥平面SAC，从而BG⊥SG，延长SG交AC于D，连结BD，则D为AC的中点，G为SD的中点∴BD=BS设正△ABC的边长为a，则SA=SB=SC=BD=aSD==a∴S=3S=a2S=∴S：S=：1-4-用心爱心专心BSEADOCFG(2)由(1)，设O为S在底面上的射影，则∵BD=4∴OD=，而SD=∴cos∠SDB=∠SDB=600∴GD=2BG=6SG=又==∴EF=2∴S=6[思维

7、点拔]计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高、底面三角形的高和截面三角形的高相互间的关系，这种关系应该通过垂直截面来体现。在本题的图形条件下，可进一步思考，若求截面BEF分三棱锥所成的两个多面体的体积比是多少？若截面BEF与侧面SAC所成角为θ(0<θ<)时，类似问题如何解？例4、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E是棱DD1上的点，截面EAC∥D1B，而且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a，求三棱锥B1—EAC的体积。分析：体积计算方法很多，根据不同方法，本题有不同解法。解法一：连BD交AC于O，连

8、OE∵D1B∥OE∴∠EOD是二面角E-AC-D的平面角∴∠EOD=450∴D1D=2DE=aB1DA1C1D1PCQABOEHS==a2连B1D1交EO于H，在正方形BDD1B1中，B1D⊥OE，又AC⊥OE，AC⊥OD∴AC⊥平面