2011年高考数学 考点30 直接证明与间接证明.doc

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1、考点30直接证明与间接证明解答题1.（2011·湖南高考理科·T22）（13分）已知函数f(x)=g(x)=x+.（Ⅰ）求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{a}()满足,f(a)=g(),证明：存在常数M，使得对于任意的，都有【思路点拨】本题以函数为载体考查，考查函数的零点、方程的解、函数图象的交点之间的相互转化，兼顾考查导数的运用.进而以函数为载体引出数列再考查数列.考查学生的函数和方程思想、数形结合思想、等价转化思想，由线问题转化为到点问题.综合能力很强，要求学生有深层

2、次的思维能力和逻辑推理能力.较好的数学素养是解决本题的关键.【精讲精析】（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则.当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点.又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点.记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2：，记，则.当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点.因此在内也至多只有一个零

3、点，-2-综上所述，有且只有两个零点.（II）记的正零点为，即.（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立.故对任意的，成立.（2）当时，由（1）知，在上单调递增.则，即.从而，即，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立.故对任意的，成立.综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.-2-