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《广东省广州市普通高中2020高考高三数学第一次模拟试题精选 数列05 含答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列058、已知数列，记,,,，并且对于任意，恒有成立．（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列．【答案】解：（1），所以为等差数列.（2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列.（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列.综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列.9、对于数列
2、，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1)若成等比数列,求的值；(2)在,的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3)他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”.于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确.他将得到什么结论？【答案】(1)由
3、a32=a1a5，………………………………..2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0.……………………..4分(2)解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列.…………..7分因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,………..9分这里M=+3+…+3n-2为正整数，所以,bn=1+3M=1+3[(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证.……………….11分(注：bn的通项公式不唯一)(3)该命题为假命题.……………………….12分由已知可得,因此,,又,故,..15分由于是正整数，且，则,又是满足的正
4、整数，则,,所以，>,从而原命题为假命题.……..18分10、在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中．（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由已知条件得，,,所以……2分，则设，则，所以；………2分即满足方程，所以点在直线上.……1分（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得………1分设，则，，所以，逐差累和得，，所以………2分设直线与轴的交点，则，……2分（3）由（2），…2分于是，，………2分数列中项的最大值
5、为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的自然数，对一切都有成立.……2分11、设数列满足且（）,前项和为．已知点,,都在直线上(其中常数且,，),又．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数，的值；（3）如果存在、，使得点和点都在直线上．问是否存在正整数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）因为点都在直线上，所以，得，………2分其中．………3分因为常数，且，所以为非零常数．所以数列是等比数列．………4分（2）由，得，………7分所以，得．………8分由在直线上，得，………9分令得．………10分（3）由知恒成立等价于．因为存在、，使得点和点都
6、在直线上．由与做差得：．………12分易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，所以，又由，而得得即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数，………16分使，,即解得因为，所以，即存在自然数，其最小值为，使得当时，恒成立．………18分
