专题9 等差、等比数列的概念和性质.ppt

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1、等差、等比数列的概念和性质1.(2010·通州模拟)数列a1+2，…，ak+2k，…，a10+20共有10项，且其和为240，则a1+…+ak+…+a10之值为.解析：(a1+2)+…+(ak+2k)+…+(a10+20)=(a1+…+ak+…+a10)+(2+…+2k+…+20)=(a1+…+ak+…+a10)+110=240.所以a1+…+ak+…+a10=130.2.(2010·江苏通州中学高模)已知数列{an}对于任意p，q∈N*有ap+aq=ap+aq，若a1=，则a100=.解析：取p=n，q=1，所以an+1-an=，所以数列{an}

2、是公差、首项都为的等差数列，a100=+(100-1)=40.例1：已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn=f(n)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式．分析:第(1)问由已知条件确定a的值时要注意“在定义域内存在0f(x2)成立”与“函数y=f(x)在(0，+∞)上单调递减”之间的区别；第(2)问主要是利用an与Sn的关系．解析：(

3、1)因为不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，所以判别式=a2-4a=0，解得a=0或a=4.当a=0时，函数f(x)=x2在(0，+∞)上递增，不满足条件②；当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减，满足条件②综上得a=4，即f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2，当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5，所以an=.变式1.等差数列{an}中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，

4、…成等比数列，求数列{kn}的通项公式．解析：设等差数列an的公差为d，则，a2·a2=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，即d2-a1d=0.因为d0，所以d=a1，等比数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…的公比q===3，所以akn=a1·3n+1.akn既是等差数列{an}中的第kn项，同时又是等比数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…中的第(n+2)项，所以a1+(kn-1)·a1=a1·3n+1，kn=3n+1.分析：立足基础，注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式，注重代数式的有序变形．分析：(1

5、)注意基本量及其关系的运用，知三求二；(2)不可能、不成立问题常通过举反例来处理，一般性证明宜用反证法．1．等差、等比数列的结论，如(1)an是等差数列，Sn=i.(ⅰ)m+n=p+q⇒am+an=ap+aq；(ⅱ)数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…，是等差数列；(ⅲ)S2n-1=(2n-1)an.(2)an是等比数列，Sn=i.(ⅰ)m+n=p+q⇒aman=apaq；(ⅱ)数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(q1)是等比数列；(ⅲ)a1a2…a2n-1=(an)2n-1.2．一般数列求和的几种常用方法、和与项之间的关系：(1

6、)分项求和、并项求和、裂项相消、倒序相加、错位相减等；(2)Sn=a1+a2+…+anan=(2010·安徽卷)(本小题满分14分)设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：“对任何n∈N*，都有++…+=.”证明：(1)先证必要性设数列{an}的公差为d.若d=0，则所述等式显然成立．(2分)若d0，则++…+==(2)再证充分性依题意有++…+=；①++…++，②②-①，得-③在上式两端同乘a1an+1an+2，得a1=(n+1)an+1-nan+2；③同理可得a1=nan-(n-1)an+1.

7、④③-④，得2nan+1=n(an+2+an)，即an+2-an+1=an+1-an，所以an是等差数列．由(1)(2)命题成立．1．证明题要注意格式规范；2．分必要性、充分性两大块分别处理．先从容易处即必要性的证明下手；3．必要性证明时因公差d在分母上出现，所以要分d=0和d0两种不同的情况，事实上，以字母形式出现的题都要注意这个问题；4．充分性证明时两次使用构造平行式相减法，这是解决数列问题、化简数列关系式的常用方法之一.