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1、等差、等比数列的概念与性质【主干知识】1.必记公式(1)等差数列通项公式:an=__________.(2)等差数列前n项和公式:Sn=___________=_____________.(3)等比数列通项公式:________.a1+(n-1)dan=a1qn-1(4)等比数列前n项和公式:Sn=_______________________(5)等差中项公式:_______________________.(6)等比中项公式:____________________.(7)数列{an}的前n项和与通项an之间的关系:an=_____________2an=an-1+an+1(n∈N*
2、,n≥2)2.重要性质(1)通项公式的推广:等差数列中,an=am+_______;等比数列中,an=_____.(2)增减性:①等差数列中,若公差大于零,则数列为_________;若公差小于零,则数列为_________.②等比数列中,若a1>0且q>1或a1<0且00且01,则数列为_________.(n-m)damqn-m递增数列递减数列递增数列递减数列3.易错提醒(1)忽视等比数列的条件:判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件.(2)漏掉等比中项:正数a,b的等比中项是±,容易漏掉-.(3)忽略对
3、等比数列的公比的讨论:应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公比q是否等于1.【考题回顾】1.(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( )A.-6 B.-4 C.-2 D.2【解析】选A.由S8=4a3⇒8a1+d=4×(a1+2d);由a7=-2⇒a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.2.（2014·天津高考）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A.2B.-2C.D.-【解析】选D.因为S1，S2
4、，S4成等比数列，所以=S1·S4，即(a1+a1－1)2=a1(4a1－×4×3)，解得a1=－.3.(2013·江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于 ( )A.-24B.0C.12D.24【解析】选A.因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,所以(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3.当x=-1时,3x+3=0不合题意,舍去.故x=-3.此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.所以等比数列的首项为-3,公比为2,所以等比数列的第四项为-3×24-1=-24.4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和
5、为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,因为数列{an}为等差数列,所以d=am+1-am=1,又因为Sm==0,所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.热点考向一等差(比)数列的基本运算【考情快报】【典题1】(1)(2014·重庆高考)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7= ( )A.5 B.8 C.10 D.14(2)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数
6、列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.【信息联想】(1)看到等差数列的项a3,a5,想到____________________.(2)看到等比数列的项a2,a4,a6,a8,想到___________________.等差数列的通项公式等比数列的通项公式【规范解答】(1)选B.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=2,所以a3+a5=2+2d+2+4d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.(2)设等比数列{an}的公比为q,因为a2=1,由a8=a6+2a4,得q6=q4+2q2,即q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=
7、4.答案:4【互动探究】在本例(2)的条件下,求a2+a4+a6+…+a2n(n∈N*).【解析】由已知得a2,a4,a6,…,a2n,构成以a2=1为首项,q2=2为公比的等比数列,所以其前n项和Sn==2n-1.【规律方法】等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量:在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素.(2)解题思路:①设基本量a1和公差d(公比q);②列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)
