等差等比数列的概念和性质(教师版).doc

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1、等差、等比数列的概念的性质一．基本概念（一）、等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.2.等差数列的单调性当d>0时，是递增数列；当d=0时，是常数列数列；当d<0时，是递减数列.3.通项公式与前项和公式⑴通项公式，为首项，为公差.⑵前项和公式或.4.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，，成等差数列.5.等差数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.6.等差数列的常用性质⑴

2、数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.⑶；(,是常数)；(,是常数，)⑷若，则；⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；⑹当项数为，则；当项数为，则.（7）若，则（8）若，则㈡、等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式：，为首项，为公比.⑵前项和公式：①当时，；②当时，.3.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即

3、：是与的等比中项，，成比差数列.4.等比数列的判定方法第6页共6页⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.⑶⑷若，则；⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.二．题型选讲类型1：利用等差等比数列的性质计算【例1】已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.7【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。变式1：(09广东文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=

4、1，则=A.B.C.D.2【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B变式2:设等差数列的前项和为，若则解析为等差数列，答案:9变式3：已知等比数列满足，且，则当时，A.B.C.D.【解析】由得，，则，，选C.类型2：利用公式求基本量计算在等差等比数列中指涉及到五个基本量，即，“知三求二”是一种基本运算，一般式通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，对于等比数列来说，要注意分类讨论思想的应用。【例2】公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则等于第6页共6页A.18B.24C.60D

5、.90【答案】C【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C变式1：设等比数列的公比，前项和为，则15．解析：对于变式2：正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是（D）A．65　　B．－65　C．25　　D.－25题型3：等差等比数列的判定与证明证明一个数列为等差或等比一般用定义或者等差（比）中项来证明，而对于等差数列来说，证明一个数列的通项公式是关于n的一次函数或者证明它的前n项和事关于n的不含常数项的二次函数也能说明它是等差数列.【例3】已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等

6、差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。分析：由于和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．解析：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　①已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　②由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．当n

7、≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．点评：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．变式：设数列的前项和为已知第6页共6页（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由，．．．①　则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为

8、２的等比数列．（II）由（I）可得，　　　数列是首项为，公差为的等比数列．　　　，点评：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．题型4：等差等比数列性质的应用合理运用等差等比数列的性质是高考考查