等差等比数列的性质

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1、等差、等比数列的判定与性质（一）题组（一）等差等比数列的判定记住，不吃亏！题组（一）等差等比的判定记住，不吃亏！题组（一）等差等比的判定记住，不吃亏！1.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题②:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列;命题③：若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有()AA.0个B.1个C.2个D.3个训练（一）2.判断是非：常数数列{an}是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件

2、.3.训练（2）若{an}，{bn}是等差数列，证明{pan+qbn}是等差数列。（1）若{an}是等差数列，公差为d，证明{a2n}也是等差数列.（3）若{an}是等差数列，证明：也成等差数列，（4）Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.片段和性质的证明方法与结论应用（6）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，判断{an}（≠0），，{}，{an·bn}，是否为等比数列.（5）公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数

3、列.片段和性质的证明方法与结论应用综合训练一2.题型二等比数列的判定与证明【例2】（2008·湖北）已知数列{an}和{bn}满足：a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数,数列{an}不是等比数列;（2）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列.3.证明（1）假设存在一个实数,使{an}是等比数列,则有=a1a3,即9=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.（2）bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=-(-1)n·(an-3n+2

4、1)=-bn.又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.`由上式知bn≠0,所以(n∈N*).故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，为公比的等比数列.等差数列中等比数列中知识再现若m+n=p+q则若m+n=p+q则任意连续m项的和构成的数列成等差数列任意连续m项的和构成的数列成等比数列等比数列中，（1）Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.（2）当项数为偶数2n时，S偶=；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.qS奇特别：关于等差数列中：①若项数为2n，则S偶-S奇=，=.②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇-S偶=，(

5、4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为：=.ndnan特别：1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5综合训练二设等差数列的前n项和为，前6项的和为36，最后6项的和为180(n>6)，求数列的项数n。解：由题意知，∴①+②得：①②2.3.4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为；(2)等比数列的前

6、n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为.1860题型三等比数列的性质及应用5.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且=2,求a3.（1）由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3.∴=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得∴=4.∴a3=±2.由已知条件得【活页】等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则问题1例4:在等比数列｛an｝中，已知求.解:则｛bn｝是公比为-2的等比数列。题组（三）练习（1）已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于？1.

7、等差数列｛｝的公差为，则————题组（四）2.在正项等比数列{an}中，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，求a3a6a9…a305.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1=b1>0，a3=b3，b1≠b3，则一定有a2b2，a5b5（填“>”“<”“=”).><(方法一)由中项性质和等比数列性质知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2==>=

8、b2

9、，故a2>b2；同理，a5=2a3-a1，b5=，所以b5-a5=-(2b3-b1)==>0,即b5>a5.