2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、1.2　预习课本P9～11，思考并完成以下问题1．什么是充分条件、必要条件？　　2．什么是充要条件？　　　　1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qp⇒/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2．充要条件(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的(　　)(2)“若綈p，则綈q

2、”是真命题，则p是q的必要条件(　　)(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C3．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)．答案：充分4．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．答案：必要充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对应

3、的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)A．充要条件　　　　B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)设a，b∈R，则“a>b”是“a

4、a

5、>b

6、b

7、”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　(1)由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sinA≤sinB，选A.(2)构造函数f(x)＝x

8、x

9、，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a

10、a

11、>b

12、b

13、.选C.[答案]　(1)A　(2)C充要条件的判断方法判断p

14、是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．　　　　　　[活学活用]1．已知函数f(x)＝ax＋b(x∈[0,1])，则“a＋3b>0”是“f(x)>0恒成立”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　若f(x)>0恒成立，则取x＝，可得f＝a＋b>0，∴a＋3b>0.反

15、之不成立，例如取f(x)＝x－，其中a＝1，b＝－，满足a＋3b＝1－＝>0，但是f＝1×－＝－<0.∴“a＋3b>0”是“f(x)>0恒成立”的必要不充分条件．2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/(x－

16、1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用[典例]　已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．[解]　由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a

17、3a

18、－2≤x≤3}．因为綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，所以⇒－≤a<0，所以a的取值范围是.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”，若綈p是綈q的充分条

19、件，求实数a的取值范围．解：由x2－4ax＋3a2<0且a>0得a

20、a

21、－2≤x≤3}．因为綈p⇒綈q，所以q⇒p，所以B⊆A，所以2．[变条件]将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．解：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a

22、3a