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时间:2020-06-23
《2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案 新人教A版选修2-1.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2 预习课本P9~11,思考并完成以下问题1.什么是充分条件、必要条件? 2.什么是充要条件? 1.充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p⇒qp⇒/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件(1)定义:若p⇒q且q⇒p,则记作p⇔q,此时p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p是q的充分条件,则p是唯一的( )(2)“若綈p,则綈q
2、”是真命题,则p是q的必要条件( )(3)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题( )答案:(1)× (2)√ (3)√2.已知α:“a=±2”;β:“直线x-y=0与圆x2+(y-a)2=2相切”,则α是β的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C3.“x=3”是“x2=9”的________条件(填“充分”或“必要”).答案:充分4.“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件(填“充分”或“必要”).答案:必要充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例] (1)在△ABC中,角A,B,C所对应
3、的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)设a,b∈R,则“a>b”是“a
4、a
5、>b
6、b
7、”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] (1)由正弦定理,得=,故a≤b⇔sinA≤sinB,选A.(2)构造函数f(x)=x
8、x
9、,则f(x)在定义域R上为奇函数.因为f(x)=所以函数f(x)在R上单调递增,所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a
10、a
11、>b
12、b
13、.选C.[答案] (1)A (2)C充要条件的判断方法判断p
14、是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件,同时要注意反证法的运用. [活学活用]1.已知函数f(x)=ax+b(x∈[0,1]),则“a+3b>0”是“f(x)>0恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B 若f(x)>0恒成立,则取x=,可得f=a+b>0,∴a+3b>0.反
15、之不成立,例如取f(x)=x-,其中a=1,b=-,满足a+3b=1-=>0,但是f=1×-=-<0.∴“a+3b>0”是“f(x)>0恒成立”的必要不充分条件.2.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形;(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解:(1)∵四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形,四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等,∴p是q的既不充分也不必要条件.(2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)·(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0⇒/(x-
16、1)2+(y-2)2=0,∴p是q的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用[典例] 已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0.若綈p是綈q的必要条件,求实数a的取值范围.[解] 由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a17、3a18、-2≤x≤3}.因为綈q⇒綈p,所以p⇒q,所以A⊆B,所以⇒-≤a<0,所以a的取值范围是.[一题多变]1.[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p是綈q的充分条19、件,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a>0得a20、a21、-2≤x≤3}.因为綈p⇒綈q,所以q⇒p,所以B⊆A,所以2.[变条件]将“q:实数x满足x2-x-6≤0”改为“q:实数x满足x2+3x≤0”其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a22、3a
17、3a18、-2≤x≤3}.因为綈q⇒綈p,所以p⇒q,所以A⊆B,所以⇒-≤a<0,所以a的取值范围是.[一题多变]1.[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p是綈q的充分条19、件,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a>0得a20、a21、-2≤x≤3}.因为綈p⇒綈q,所以q⇒p,所以B⊆A,所以2.[变条件]将“q:实数x满足x2-x-6≤0”改为“q:实数x满足x2+3x≤0”其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a22、3a
18、-2≤x≤3}.因为綈q⇒綈p,所以p⇒q,所以A⊆B,所以⇒-≤a<0,所以a的取值范围是.[一题多变]1.[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p是綈q的充分条
19、件,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a>0得a20、a21、-2≤x≤3}.因为綈p⇒綈q,所以q⇒p,所以B⊆A,所以2.[变条件]将“q:实数x满足x2-x-6≤0”改为“q:实数x满足x2+3x≤0”其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a22、3a
20、a21、-2≤x≤3}.因为綈p⇒綈q,所以q⇒p,所以B⊆A,所以2.[变条件]将“q:实数x满足x2-x-6≤0”改为“q:实数x满足x2+3x≤0”其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a22、3a
21、-2≤x≤3}.因为綈p⇒綈q,所以q⇒p,所以B⊆A,所以2.[变条件]将“q:实数x满足x2-x-6≤0”改为“q:实数x满足x2+3x≤0”其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a22、3a
22、3a
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