高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件教学案 新人教A版选修.doc

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1、1.2充分条件与必要条件[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？提示：一定有x>2ab成立．②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？提示：不一定，也可能b＝0．(2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：①若p成立，一定有q成立吗？提示：一定有q成立．②若q成立，一定有p成立吗？提示：一定有p成立．2．归纳总结，核心必记(1)充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命

2、题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件(2)充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．[问题思考](1)x>3是x>5的充分条件吗？提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示：不唯一，如x>3，x>5，x>1

3、0等都是x>0的充分条件．(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？提示：A＝B．[课前反思](1)充分条件的定义是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)必要条件的定义是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(3)充要条件的定义是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．[思考]　充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．讲一讲1．判断下列各题中p是q的什么条件．(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：

5、(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：aB，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a1;当b>0时，<1，故若a

6、1；当a>0，b>0，<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．充分、必要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．练一练1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角

7、线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件．[思考]　如何证明“p是q的充要条件”？名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．讲

8、一讲2．证明：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0垂直的充要条件．[尝试解答]　(1)(充分性)当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直．当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，若a＋2b＝0，