高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1.2分条件与必要条件充分条件与必要条件[提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．[导入新知]充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件[化解疑难]1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立

2、”；但即使有q成立，p未必会成立.充要条件[提出问题]如图是一物理电路图．问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？提示：一定闭合．问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？提示：p⇔q.[导入新知]充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．[化解疑难]p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1]　判断下列各

3、题中p是q的什么条件．(1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B；(2)p：x＞1，q：x2＞1；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：＜1.[解]　(1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可

4、以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．[类题通法]充分、必要、充要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充

5、分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．[活学活用]指出下列各组命题中p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.充要条件的证明[例2]　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有

6、一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[解]　　(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[类题通法]充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证

7、明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[活学活用]已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.证明：(1)必要性：由＜，得－＜0，即＜0，又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.(2)充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，即＜.综上所述，＜的充要条件是xy＞0.充分、必要条件的应用[例3]　已知p：－2≤x≤10，q

8、：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不