高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件学案含解析新人教A版选修1

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1、1.2.2　充要条件学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．知识点一　充要条件的概念(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．知识点二　常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不

2、充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x

3、p(x)成立}，q：B＝{x

4、q(x)成立}．1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　√　)2．若綈q是p的充要条

5、件，则綈p是q的充要条件．(　√　)类型一　充要条件的判断例1　(1)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>

6、y

7、”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点　必要不充分条件的判定答案　C解析　分别判断x>y⇒x>

8、y

9、与x>

10、y

11、⇒x>y是否成立，从而得到答案．当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>

12、y

13、不成立；若x>

14、y

15、，因为

16、y

17、≥y，所以x>y.所以x>y是x>

18、y

19、的必要不充分条件．(2)下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______

20、__．(填序号)①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sinA>sinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：

21、x

22、>3，q：x2>9.考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断答案　①②③解析　①在△ABC中，有∠A>∠B⇔sinA>sinB，所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．③由于p：

23、x

24、>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．反思与感悟　判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的

25、充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．跟踪训练1　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)A．ab＝0B．ab>0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2>0考点　充要条件的概念及判

26、断题点　充要条件的判断答案　D解析　a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.(2)“x>1”是“(x＋2)<0”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断答案　B解析　由x>1⇒x＋2>3⇒(x＋2)<0，(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，故“x>1”是“(x＋2)<0”成立的充分不必要条件．故选B.类型二　由条件关系求参数取值范围例2　已知集合A是不等式x2－8x－20≤0的解集，集合B是不等式(x－1－a

27、)(x－1＋a)>0(a>0)的解集．p：x∈A，q：x∈B，若p是綈q的充分不必要条件，求a的取值范围．考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点　利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围解　由x2－8x－20≤0，解得－2≤x≤10，∴A＝{x

28、－2≤x≤10}，由(x－1－a)(x－1＋a)>0，得x<1－a或x>a＋1，∴B＝{x

29、x<1－a或x>1＋a}，则p：－2≤x≤10，綈q：1－a≤x≤1＋a，∵p是綈q的充分不必要条件，∴或解得a≥9，∴a的取值范围是[9，＋∞)．引申探究　本例中若p，q不变，是否存在实

30、数a，使p是綈q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解　∵p：－2≤x≤10，綈q：1－a≤x≤1＋a，若p是綈q的充要条件，则无解．故不存在实数a使得p是q的充要条件．反思与感悟　由条件