2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、1.2充分条件与必要条件学习目标　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.知识点一　充分条件与必要条件思考　用恰当的语言表述下列语句的意义.①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；②只有同心协力，才能把事情办好.答案　①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件.②同心协力是办好事情的必要条件.梳理　(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时

2、，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分而不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要而不充分条件.知识点二　充要条件思考　在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案　因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.梳理　(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记

3、作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x

4、p(x

5、)成立}，q：B＝{x

6、q(x)成立}.类型一　判断充分条件、必要条件、充要条件命题角度1　在常见数学问题中的判断例1　下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.解　(1)∵a＋b＝0⇏a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件.(2)∵四边形的对角线相等⇏四

7、边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件.(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝；x－1＝⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件.(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.∵m<－1⇒m<－；m<－⇏m<－1，∴p是q的充分不必要条件.(5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件.反思与感悟　判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命

8、题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件⇔集合PQ，P是Q的必要不充分条件⇔集合PQ，P是Q的充要条件⇔集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件⇔集合P⊈Q，且P⊉Q；四、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.跟踪训练1　指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

9、x－2

10、<3，q：<－1；(3)p：A∪B＝A，q：

11、A∩B＝B；(4)p：q：解　(1)当a＝0时，1>0满足题意；当a≠0时，由可得0

12、可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如题图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如题图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如题图(4)，闭合开关A但