高考导数压轴题中导数零点不可求的三大妙招.pdf

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1、·辅教导学·数学通讯———２０１６年第４期（上半月）１９高考导数压轴题中导数零点不可求的三大妙招蔡德华（江苏省泰兴市第二高级中学，２２５４００）高考题中有关导数的问题，往往是以压轴题ａ＋ｂｅ２ｂ－ａａ－ｂ＝［ｅ２－ｅ２－（ｂ－ａ）］．的形式出现，有一定的灵活性，且难度较大，一般ｂ－ａ是先求出导数，然后求出导数为０的值即导数的零ｘ１设ｕ（ｘ）＝ｅ－ｘ－２ｘ（ｘ≥０），则ｕ′（ｘ）＝ｅ点，利用导数值的正负来确定原函数的单调性，从ｘ１而使问题得到解决．但有时会碰到导数式是超越ｅ＋ｘ－２≥０，所以ｕ（ｘ）单调递增．ｅ式，导数的零点不可求，从而使问题的解决陷入困ｂ－

2、ａｂ－ａａ－ｂ因为ｘ＝＞０，所以ｕ（ｘ）＝ｅ２－ｅ２－境，本文通过几道高考题说明这类问题的几种常２见解决办法．（ｂ）－ｆ（ａ）ａ＋ｂ（ｂ－ａ）＞ｕ（０）＝０，故ｆ＞ｆ（）．一、直觉求根，二次求导验证ｂ－ａ２点评第（２）小题中，ｈ′（ｘ）＝ｅｘ例１（２０１３年陕西卷文科第２１题）已知函数－ｘ－１是ｆ（ｘ）＝ｅｘ，ｘ∈Ｒ．超越式，无法用常规方法求出其零点，但是我们可（１）求ｆ（ｘ）的反函数的图象上点（１，０）处的以通过直觉思考得到其一个零点为ｘ＝０，再二次切线方程；求导得到导函数的的单调性，导函数恰好在ｘ＝０处取得最小值，故有ｈ′（ｘ）≥０，从而使问题得到（２

3、）证明：曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与曲线ｙ＝１ｘ２＋２解决．ｘ＋１有唯一公共点；例２（２０１３年北京卷理科第１８题）设Ｌ为曲（３）设ａ＜ｂ，比较ｆ（ａ＋ｂ）与ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｌｎｘ的线Ｃ：ｙ＝在点（１，０）处的切线．２ｂ－ａｘ大小，并说明理由．（１）求Ｌ的方程；解（１）ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｙ＝（２）证明：除切点（１，０）之外，曲线Ｃ在直线Ｌｇ（ｘ）过点（１，０）的切线斜率ｋ＝ｇ′（１）＝１，过点的下方．（１，０）的切线方程为ｙ＝ｘ－１．ｌｎｘ１－ｌｎｘ解（１）设ｆ（ｘ）＝，则ｆ′（ｘ）＝，２ｘｘ（２）令ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－（１ｘ２＋ｘ＋１）＝ｅｘ－

4、２所以ｆ′（１）＝１，所以Ｌ的方程为ｙ＝ｘ－１．１（２）令ｇ（ｘ）＝ｘ－１－ｆ（ｘ），则除切点之外，２ｘｘ－ｘ－１，则ｈ′（ｘ）＝ｅ－ｘ－１，所以ｈ′（０）＝２曲线Ｃ在直线Ｌ的下方等价于ｇ（ｘ）＞０（ｘ＞０，０．ｘ≠１）．设φ（ｘ）＝ｈ′（ｘ）＝ｅｘｘ－ｘ－１，则φ′（ｘ）＝ｅｇ（ｘ）满足ｇ（１）＝０，且ｇ′（ｘ）＝１－ｆ′（ｘ）＝２－１，当ｘ＜０时，φ′（ｘ）＜０；当ｘ＞０时，φ′（ｘ）＞ｘ－１＋ｌｎｘ２．０．所以φ（ｘ）的最小值为φ（０）＝０，所以ｈ′（ｘ）＝ｘφ（ｘ）≥０，所以ｙ＝ｈ（ｘ）在Ｒ上递增，最多有一个设ｈ（ｘ）＝ｘ２－１＋ｌｎｘ，则ｈ′（

5、ｘ）＝２ｘ＋１ｘ零点，又ｈ（０）＝０，所以曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与曲线ｙ＝＞０，因此ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上递增，又ｈ（１）＝０，１２ｘ＋ｘ＋１有唯一公共点．所以，当０＜ｘ＜１时，ｈ（ｘ）＜０，所以ｇ′（ｘ）＜０，２ｂａ故ｇ（ｘ）单调递减；当ｘ＞１时，ｈ（ｘ）＞０，所以（ｂ）－ｆ（ａ）ａ＋ｂｅ－ｅａ＋ｂ（３）ｆ－ｆ（）＝－ｅ２ｂ－ａ２ｂ－ａｇ′（ｘ）＞０，故ｇ（ｘ）单调递增．所以，ｇ（ｘ）＞ｇ（１）２０数学通讯———２０１６年第４期（上半月）·辅教导学·＝０（ｘ＞０，ｘ≠１）．得到两边函数的单调性，从而得到左边函数的最所以，除切点之外，曲线Ｃ在直线Ｌ的下方．１１

6、小值为ｇ（）＝－，右边函数的最大值为ｈ（１）点评在第（２）小题中，通过直觉思考得到ｅｅｘ２１导函数ｇ′（ｘ）＝－１＋ｌｎｘ的零点为ｘ＝１，然＝－．因此不等式成立．这种情况在编制题目时２ｅｘ后再次求导，得到导函数的单调性，从而判断导函比较容易，只要选择两个函数，其中一个函数的最数值在零点两边的符号．当然也可将ｇ（ｘ）＞０变大值不大于另一个函数的最小值，将两个函数用形为ｘ２－ｘ－ｌｎｘ＞０，这样可以避免出现导函数不等号连接，再将其变形，得到某个新的较为复杂是超越式，从而较容易求出其左边的零点．的不等式，这样新函数的导数就复杂了，零点也就二、巧妙变形，两边求导定

7、性不好求了，从而题目的难度也就大大增加了．例３（２０１４年新课标全国卷Ⅰ理科第２１题）例４（２０１２年山东卷理科第２２题）已知函数ｘ－１设函数ｆ（ｘ）＝ａｅｘｌｎｘ＋ｂｅ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｋ（ｋ为常数，ｅ＝２．７１８２８···是自然ｘｘｅ（１，ｆ（１））处的切线为ｙ＝ｅ（ｘ－１）＋２．对数的底数），曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的（Ⅰ）求ａ，ｂ；切线与ｘ轴平行．（Ⅱ）证明：ｆ（ｘ）＞１．（Ⅰ）求ｋ的值；解（Ⅰ）函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），（Ⅱ）求ｆ（ｘ）的单调区间；ａｂｂ（Ⅲ）设ｇ（ｘ）＝（ｘ２ｘｌｎｘ＋ｅｘ－ｅｘ－１

8、＋ｅｘ－１．＋ｘ）ｆ′（ｘ），其中ｆ′（ｘ）为ｆ′（ｘ）＝ａｅ２ｘ