应对函数导数零点不可求的非常规策略

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1、解题研究JIETIYANJIU不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不

2、不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不应对函数导数零点不可求的非常规策略不不不不

3、不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不石向阳（湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学）摘

4、要：当函数导数零点不可求时，可将函数零点因为g′(x)=1+e>0，问题依次纳入先探根、后虚设的轨道，从而有效降低xlnxlnx2e思维的难度，但探知零点或虚设零点后，仍有很长的所以g(x)=x-在(1,3e]上是增函数.lnx路要走（关键是了解导数的正负），此时多次或局部求2e所以g(x)max=g(3e)=3e-．导和整合重组、数形结合犹如一套组合拳，他们在通ln3e往求导数正、负的途中往往能出奇制胜，起到四两拨xlnxlnx-e因为h′(x)=，千斤的功效．xlnxlnx关键词：探出零点；虚拟设根；多次求导；整合可以看出，当x=

5、e时，h′(x)=0（不能直接求重组；数形结合出，是通过观察分析出来的）．因为y=xlnxlnx-e在(1,3e]上是增函数，一、投石问路，探出零点所以在(1,3e]上h′(x)=0只有一个零点．而x∈(1,e)，h′(x)<0；x∈(e,3e),h′(x)>0．当导数零点不可求时，首先可用特殊值进行投石所以h(x)min=h(e)=3e.问路．特殊值的选取原则是：（1）在含lnx的复合函2e数中，通常令x=ek，尤其是令x=e0=1进行试探；综上所述，实数a的取值范围为[3e-,3e]．ln3ex（2）在含e的复合函数中，通常令x=

6、lnk(k>0)，尤【评析】首先把一个较为复杂的问题转化为两个基其是令x=ln1=0进行试探.本的恒成立问题，再转化为两个函数的最值问题．在2例1设函数f(x)=(x-a)lnx，求实数a的取值求最值的过程中，出现导数y=xlnxlnx-e的零点不2范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e成立.能直接求出，只能是通过观察，探出一个零点，然后222解：若f(x)≤4e恒成立，则(x-a)lnx≤4e恒再通过函数的单调性说明零点的唯一性，从而分析出成立．所求函数的单调区间，使问题获得解决．2当x∈(0,1]时，(x-a)ln

7、x≤0．22当x∈(1,3e]时，(x-a)lnx≤4e恒成立，二、虚设零点，整体代换224e即(x-a)≤恒成立，lnx2e2e虚设零点，即指在确定函数具有零点但又无法求即-≤x-a≤恒成立，lnxlnx解或求解相对比较繁杂的情况下，引入虚设零点，通2e2e即x-≤a≤x+恒成立．过形式化的合理代换或推理，达到化简并求解问题的lnxlnx目标．2e2e令g(x)=x-，h(x)=x+，2xlnxlnx例2设函数f()x=e-alnx.则g(x)max≤a≤h(x)min.（1）讨论f()x的导函数f′()x的零点的个数；收稿日期：2

8、016—01—26作者简介：石向阳（1972—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.532016年第5期解题研究JIETIYANJIU（2）证明：当a>0时，f()x≥2a+aln2．却发现g′(x)=0也