高考函数导数： 复合函数的零点.pdf

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1、高考函数导数：复合函数的零点复合函数的零点就是我们常说的复合方程的解，把它分为外方程和内方程，借助数形结合思想，划归为图像的交点，进而研究复合方程的解；今天我们来研究复合函数的零点问题：一理论基础·解题原理1．复合函数定义：设函数y=f(u)的定义域是Df，函数u=g(x)的值域是Zg，若Zg∩Df，则将y=f(g(x))称为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.2．复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，

2、一层层求出函数值．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”x2的顺序，一层层拆解直到求出x的值．例如：已知fx2，gxx2x，若gfx0，求x．由上例可得，要想求出gfx0的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．4．函数的零点：设fx的定义域为D，若存在xD，使得fx0，则称xx000为fx的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g

3、fx0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为gfx0的根的个数．二题型攻略·深度挖掘1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大．高考数学解题研究群：651329389.数学交流微信：135518942282.【技能方法】求解复合函数ygfx零点问题的技巧：（1）借助数形结合思想

4、，处理问题作出u,fxygu的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx的方程gfx0中fx解的个数，再根据个数与fx的图像特点，分配每个函数值fxi被几个x所对应，从而确定fx的取值范围，进而决定参数的范围．i三试题研究例1.已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．【解析】∵，∴，∴∴当或时，，当时，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增可作出大致函数图象如图所示：令，当时，方程有一解；当时，方程有两解；当时，

5、方程有三解；∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根∴关于的方程在和上各有一解高考数学解题研究群：651329389.数学交流微信：13551894228∴，解得，综上：答案为；32例2.（13安徽）若函数fxxaxbxc有极值点xx12,，且fx11x，2则关于x的方程3fx2afxb0的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6'22解：fx32xaxb由极值点可得：xx12,为3x2axb0①的两根，观2察到方程①与3fx2afxb0结构完全相同，所

6、以可得23fx2afxb0的两根为fx1xf1,2xx2，其中fx11x1，（1）若xx，可判断出x是极大值点，x是极小值点，且1212f2xx2x1fx1，所以yfx1与fx有两个交点，而fx2与fx有一个交点，共计3个；（2）若xx，可判断出x是极小值点，x是极大值点。且1212f2xx2x1fx1，所以yfx1与fx有两个交点，而fx2与fx有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点，答案选Ax2例3.已知函数f

7、x，若关于x的方程fxmfxm10恰有4个不xe相等的实数根，则实数m的取值范围是（）1111A.,2U2,eB.,1C.1,1D.,eeeeex,0xxe解：fx，x,0xxe分析fx的图像以便于作图，高考数学解题研究群：651329389.数学交流微信：13551894228'x当x0时，fx1xe，从而fx在0,1单调递增，在1,单调递1减，f1，且当xy,0，即x正

8、半轴为水平渐近线；当x0时，e'xfxx1e，即fx在,0递减，由此作图，从图像可得，若恰有42个不等实根，则关于fx的方程fxmfxm10中，11fx120,,fx,，从而将问题转化为根分布问题，设tfx，则ee