简单复合函数的导数.pdf

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1、选修2-2导数及其应用§1.2.3简单复合函数的导数(总第52课时)一、【目的要求】（1）掌握求复合函数f(axb)的导数的法则；（2）熟练求简单复合函数的导数。二、【重点难点】复合函数的求导法则是本节课的重点与难点。三、【知识回顾】1、常见函数的导数公式：‘''(kxb)；C；(C为常数)(x)；（为常数）x''x'(a)；(logax)；(e)；'''(lnx)；(sinx)；(cosx)。2、导数的四则运算法则：''u'(uv)=________(uv)________()________v四、引入：21、试求：f

2、(x)(3x1)的导数。'解法1：展开后求导知f(x)18x6；'解法2：f(x)2(3x1)6x2，两者得到的结论不一致，显然解法2是存在问题的。那究竟存在什么问题呢？我们先从今天学的复合函数说起。2、什么是复合函数？由几个基本初等函数复合而成的函数，叫复合函数．2上述函数由f(u)u，u=3x-1复合而成；又如y=sin2x由y=sinu，u=2x复合而成。由函数yf(u)与u(x)复合而成的函数一般形式是yf[(x)]，其中u称为中间变量，f(u)为外函数，u(x)为内函数。2'''''对于f(x)(3x1)，由于

3、f(u)2u2(3x1)，而ux3，因而f(x)f(u)ux=2(3x-1)×3=6(3x-1)=18x-6，这样与解法1是一致的。''''3、我们考察y=sin2x，ycos2x对吗？一方面y(2sinxcosx)2(sinxcosx)=⋯⋯''=2cos2x，所以上述解法是不对的，但此法繁琐。另一方面，yucosucos2x，ux=2,'',所以yxyuux=2cos2x（其中u=g(x)）。这样显得简单多了。4、一般地：复合函数y=f(g(x))的求导法则：y'y'uu'x（其中u=g(x)）。特别地：复合函数y=

4、f(ax+b)的求导法则：'','若y=f(u)，u=ax+b，则yxyuu(x)=yua五、【例题讲解】例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？并求其导数。3（1）y(2x3)(2)yln(5x1)1(3)y(4)ycos(12x)3x1规律总结：1、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．2、熟练后可直接观察得出结论。例2、（1）求下列函数的导数：32x12①y(13x)②ye③yln④y=cos(1+x)2x(2)曲线y=sin2x在点P(,0)处的切线方程是。'（3）利用cosxsin(x)（诱导公

5、式），(sinx)cosx（求导公式）2'证明：(cosx)sinx当堂练习：232⑴y(2x)；⑵ysinx；⑶ycos(x)；43211x⑷yaxbxc（5）y（6）y=54(13x)x例3、求下函数的导数：xx22x（1）y2(ee)（2）yecos3x243(3)ysin(2x)(4)ysin3xcos4x3随堂练习简单复合函数的导数sinx'1、f(x)e,则f()。x'2、yf(e),则y。2'3、已知f(x)ax1，且f(1)2，则a的值为________。2x2x54、已知函数f(x)3cossin2，则

6、f'()=__________。22635、已知曲线C：y4axx，过点Q(0，－1)作C的切线，切点为P，则不论a怎样变化，点P总在一条定直线上。''6、已知f(5)=5，f(5)3，g(5)=4，g(5)1'(1)若h(x)=3f(x)+2g(x)，则h(5)=，h(5)。'（2）若h(x)=f(x)g(x)+1，则h(5)=，h(5)。f(x)2'（3）若h(x)，则h(5)=，h(5)。g(x)7、求下列函数的导数：(1)yln2x(2)ylog23x(3)ysin2x（4）ycos(x)3x2x（5）y2ln(

7、15x)（6）yxe（7）y=sin(3x－)6111（8）y=(9)y=4(10)yf()23(2x1)3x1x8、求与曲线ysin(2x)在x的切线平行，并且在y轴上的截距为3的直线方程。64ax69、已知函数f(x)的图像在点M(－1,f(x))处的切线方程为x2y50，2xb求yf(x)的解析式510、某港口在一天24小时内潮水的高度近似地满足s(t)3sin(t)(0t24)，126其中s的单位是m,t的单位是h，求18点时的潮水起落速度。11、如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时

8、，圆面积的膨胀率是多少。