简单复合函数的导数.docx

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1、修2-2导数及其应用§1.2.3简单复合函数的导数(总第52课时)一、【目的要求】（1）掌握求复合函数f(axb)的导数的法则；（2）熟练求简单复合函数的导数。二、【重点点】复合函数的求导法则是本节课的重点与难点。三、【知回】1、常函数的数公式：(kx‘；C'；(C常数)(x)'；（常数）b)(ax)'；(logax)'；(ex)'；(lnx)'；(sinx)'；(cosx)'。2、数的四运算法：(uv)'=________(uv)'________(u)'________v四、引入：1、求：f(x)(3x1)2的数。解法1：展开后求知f'(x)18x6；解法2：f'(

2、)2(3x1)6x2，两者得到的不一致，然解法2是存在x的。那究竟存在什么呢？我先从今天学的复合函数起。2、什么是复合函数？由几个基本初等函数复合而成的函数，叫复合函数．上述函数由f(u)u2，u=3x-1复合而成；又如y=sin2x由y=sinu，u=2x复合而成。由函数yf(u)与u(x)复合而成的函数一般形式是yf[(x)]，其中u称中量，f(u)外函数，u(x)内函数。于f(x)(3x1)2，由于f'(u)2u2(3x1)，而u'x3，因而f'(x)f'(u)u'x=2(3x-1)×3=6(3x-1)=18x-6，与解

3、法1是一致的。3、我考察y=sin2x，y'cos2x？一方面y'(2sinxcosx)'2(sinxcosx)'=⋯⋯=2cos2x，所以上述解法是不的，但此法繁。另一方面，y'ucosucos2x，u'x=2,所以y'xy'uu,x=2cos2x（其中u=g(x)）。得多了。4、一般地：复合函数y=f(g(x))的求导法则：y'y'uu'x（其中u=g(x)）。特别地：复合函数y=f(ax+b)的求导法则：若y=f(u)，u=ax+b，则y'xy'uu,(x)=y'ua五、【例题讲解】例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？并求其导数。（1）y(2x3)3(2)yln(5x1)1(4

4、)ycos(12x)(3)y3x1规律总结：1、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．2、熟练后可直接观察得出结论。例2、（1）求下列函数的导数：①y(13x)3②ye2x③yln1④y=cos(1+x2)x2(2)曲线y=sin2x在点P(,0)处的切线方程是。（3）利用cosxsin(x（诱导公式），(sinx)'cosx（求导公式）2)证明：(cosx)'sinx当堂练习：⑴y(2x2)3；⑵ysinx2；⑶ycos(x)；4⑷y3ax2bxc（5）y1（6）y=51x(13x)4x例3、求下函数的导数：xx（1）y2(e2e2)（2）yexcos3x(3)ys

5、in2(2x)(4)ysin43xcos34x3随堂练习简单复合函数的导数1、f(x)esinx,则f'()。2、yf(ex),则y'。3f(x)ax1，且f(1)2，则a的值为________。、已知2'4、已知函数f(x)3cos2xsin2x2，则f'(5)=__________。2265、已知曲线C：y4ax3x，过点Q(0，－1)作C的切线，切点为P，则不论a怎样变化，点P总在一条定直线上。6、已知f(5)=5，f'(5)3，g(5)=4，g'(5)1(1)若h(x)=3f(x)+2g(x)，则h(5)=（2）若h(x)=f(x)g(x)+1，则h(5)=f(x)2（3）若h(

6、x)，则h(5)=g(x)7、求下列函数的导数：(1)yln2x(2)ylog23x，h'(5)。，h'(5)。，h'(5)。(3)ysin2x（4）ycos(x)3（5）y2xln(15x)（6）yxe2x（7）y=sin(3x－)6（8）y=1(9)y=41(10)yf(1)21)31(2x3xx8、求与曲线ysin(2x)在x的切线平行，并且在y轴上的截距为3的直线方程。64ax6x2y50，9、已知函数f(x)2的图像在点M(－1,f(x))处的切线方程为xb求yf(x)的解析式10、某港口在一天24小时内潮水的高度近似地满足s(t)3sin(t5)(0t24)，126其中s的

7、单位是m,t的单位是h，求18点时的潮水起落速度。11、如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率是多少。