复合函数与初等函数的导数

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1、第二章导数和微分§2.3复合函数与初等函数的导数一、复合函数的微分法定理1此法则又称为复合函数求导的链式法则．可导，则设或复合函数的导数为推论设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，且说明：1、利用复合函数的求导法则，关键是弄清复合函数的复合关系即由哪些基本初等函数或简单函数复合而成。2、熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后，可以不写出中间变量，采用逐层求导的方式计算复合函数的导数。例1设y=(2x+1)5，求y.解把2x+1看成中间变量u，y=u5，u=2x+1复合而成，所

2、以将y=(2x+1)5看成是由于例2设y=sin2x，求y.解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.求y.解将中间变量u=1-x2记在脑子中.这样可以直接写出下式例3例4求y.解这个复合函数有三个复合步骤把这些中间变量都记在脑子中．解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例5,求y.例6设y=sin(xlnx)，求y.解先用复合函数求导公式，再用乘

3、法公式y=cos(xlnx)·(xlnx)=cos(xlnx)·(x·(lnx)+xlnx)=(1+lnx)cos(xlnx).例7解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数的求导.二、反函数的导数如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且简要证明：因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。例1．求(arcsinx)及(arccosx)。如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f

4、(x)在对应区间Ix内也可导，并且解：因为y=arcsinx是x=siny的反函数，所以即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例2．求(arctanx)及(arccotx)。如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且解：因为y=arctanx是x=tany的反函数，所以例3解特别地当时有解y=etanx可以看成是由y=eu，u=tanx复合而成，所以例4设y=etanx，求y.例5设f(x)=arcsin(x2)，求f(x).解例6求y.解三、参数

5、方程导数例如消去参数t问题:消参数困难或无法消去参数时如何求导?设xj(t)具有反函数tj-1(x)，且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]。若xj(t)和yy(t)都可导，则例7四、导数的基本公式(1)(C)=0，(2)(xm)=mxm-1，(3)(sinx)=cosx，(4)(cosx)=-sinx，(5)(tanx)=sec2x，(6)(cotx)=-csc2x，(7)(secx)=secxtanx，(8)(cscx)=-cscxcotx，(9)(ax)=axlna，(1

6、0)(ex)=ex，，练习题2.31、（2）（5）（8）（14）（20）2、（2）（6）（10）3、（3）作业：P36——第二章导数和微分§2.4隐函数求导法一、隐函数的求导形如ysinx，ylnxex的函数都是显函数。显函数与隐函数：隐函数隐函数的显化我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个变量表示的形式------y=f(x),这种形式称为显函数.定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?对于这样的函数例如,数是由方程形式给出的.但这个函对于隐函数的求导法则隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问

7、题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求y的导数.容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导，遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含的方程，解出即可.例1．求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数。解：方程中每一项对x求导得(ey)(xy)(e)(0)，即eyyy+xy0，解：把方程两边分别对x求导数得因为当x0时，

8、从原方程得y0，所以解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得所求的切线方程为解：方程两边对x求导，得上式两边再对x求导，得二、对数求导法在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如的函数，还有一类是一系列函数的乘、除、乘方、开