应对导数零点不可求的六种策略研究

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1、应对导数零点不可求的六种策略研究■石向阳摘要:当函数遭遇“导数零点不可求”的挑战时，＜0;x∈(e，3e)，h'(x)＞0．所以h(x)min=h(e)=可将函数零点问题依次纳入先“探根”后“虚设”的轨2e3e．综上所述:实数a的取值范围为［3e－，3e］．道，从而有效降低思维的难度，但探知零点或虚设零点槡ln3e后，仍有很长的路要走(关键是了解导数的正负)，此评注:首先把一个较为复杂的问题转化为两个基时“多次求导”、“局部求导”、“整合重组”、“数形结本的恒成立问题，再转化为两个函数的最值问题．在求合”犹如一套“组合拳”，他们在通往导数正负

2、的途中最值的过程中，出现导数y=xlnx槡lnx－e的零点不往往能出奇制胜，起到四两拨千斤的功效．能直接求出，只能是通过观察，“探出”一个零点，然后关键词:虚拟设根;多次求导;局部求导;数形结合再通过函数的单调性说明零点的唯一性，从而分析出一、投石问路，探出零点所求函数的单调区间，使问题获得解决．当导数零点不可求时，首先可用特殊值进行“投练习1:(2013年高考北京题改编)当x＞0，x≠石问路”．特殊值的选取原则是:(1)在含lnx的复合lnxk01，求证:＜x－1．函数中，通常令x=e，尤其是令x=e=1进行试探;xx(2)在含e的复合函数

3、中，通常令x=lnk(k＞0)，尤lnx答案:令g(x)=x－1－，问题等价于证明其是令x=ln1=0进行试探．x例1(2011年浙江高考题)设函数f(x)=(x－g(x)＞0(x＞0，x≠1)．g(x)满足g(1)=0，且2x2－1+lnxa)lnx，求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0，g'(x)=，显然g'(x)的零点无法直接求22x3e］，恒有f(x)≤4e成立．解析:f(x)≤4e2恒成立(x－a)2lnx≤4e2恒成出，观察零点，令x=1试探，得g'(1)=0(观察成功)．2立．当x∈(0，1］，(x－a)2lnx≤0≤4

4、e2恒成立．当0＜x＜1时，x－1＜0，lnx＜0，所以g'(x)＜0，2当x∈(1，3e］，(x－a)2lnx≤4e2恒成立(x－故g(x)单调递减;当x＞1时，x－1＞0，lnx＞0，所4e22e2e以g'(x)＞0，故g(x)单调递增．2a)≤恒成立－≤x－a≤恒成立lnx槡lnx槡lnx所以，g(x)＞g(1)=0(x＞0，x≠1)．问题得证．二、虚设零点整体代换2e2ex－≤a≤x+恒成立．令g(x)=x－例2(2015年全国高考新课标Ⅰ卷文21)设函槡lnx槡lnx2x数f(x)=e－alnx．2e2e，h(x)=x+，原问

5、题g(x)max≤a≤(1)讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数．槡lnx槡lnx2e(2)证明:当a＞0时，f(x)≥2a+aln．h(x)min．因为g'(x)=1+＞0，所以g(x)=axlnx槡lnx解析:(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2ex－－e在(1，3e］上是增函数，所以g(x)max=2xa2x槡lnx2e－(x＞0)．由f'(x)=0得2xe=a．令g(x)x2e2x2xg(3e)=3e－．=2xe，g'(x)=(4x+2)e＞0(x＞0)，从而g(x)槡ln3e在(0，+∞)单调递增，所以g(x

6、)＞g(0)=0．xlnx槡lnx－e当a＞0时，方程g(x)=a有一个根，即f'(x)存因为h'(x)=．可看出，当x=e时，xlnx槡lnx在唯一零点;当a≤0时，方程g(x)=a没有根，即fh'(x)=0(不能直接求出，是通过观察分析出来的)．'(x)没有零点．因为y=xlnx槡lnx在(1，3e］上是增函数，所以在(1，(2)由(1)，可设f'(x)在(0，+∞)的唯一零点3e］上h'(x)=0只有一个零点．而x∈(1，e)，h'(x)为x0，当x∈(0，x0)时，f'(x)＜0;当x∈(x0，+∞)作者简介:石向阳(1972－)，男

7、，高级教师，主要从事中学数学教学研究·14·x0时，f'(x)＞0．故f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，又由h(x0)=0，得e=x0+2，代入得g(x0)=+∞)单调递增，所以f(x)min=f(x0)．x0+1+x0=1+x0∈(2，3)，又k＜g(x0)，故2x0a2x0aa(x0+2)－1由于2e－=0，得e=，又x0=2x0，得x02x02e整数k的最大值为2．aa2x0三、多次求导判断正负lnx0=ln2x0=ln－2x0，所以f(x0)=e－alnx02e2若f'(x)=0不可解，也可尝试再一次求导，令=a－a(lna－

8、2x)=a+2ax+aln2≥g(x)=f'(x)却发现g'(x)=0也不可解，此时怎么002x022x0a办呢?那么请你“将求导进行到底”，或许能有新的2a×2a