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1、导数问题常见应对策略1•求/*(兀)的单调区间与极值?［应对策略上求导，由/x)>0解得增区间；山/x)<0解得减区间.左止右负极大，左负右止极小.2・a为何值时方程/(x)+a=o有三个根？两个根？一个根？［应对策略］:令g(x)=/(x)+d,g“)极大值漏&(兀)Oo三个根;曲)极大值訓i緞銘漏°g(x)o,g(x)0。两个根;°hy4-hx4-c4.求导后通分化简得fx)=-—的情况：(X+1)~［应对策略］只需讨论分子二次函数的符号：(1)如果分子可以分解因式,就先分解因式，讨论两个根的大小
2、.利用二次函数图像写出单调区间，或者列表说明；(2)如果分子不可以分解因式,就讨论>0;=0;<0.的情况，然后再讨论根的大小,用二次函数图像写出单调区间.5.求导后通分化简得广⑴」；［胃1)的情况：［应对策略］:利用lnx<(x-l),(^>0)直接判号。px—(x+］)4.求导后通分化简得广(兀)二一J乂的情况：［应对策略］:(X+1)-利用Q>(^+1),(X>0)直接判号。［例题］设函数f(x)=ex--x-ax20若当时/(x)>0,求a的取值范围.解：fx)=ex--2axex>+x,当
3、且仅当x=0吋等号成立.故f*(x)>x-2ax=(1-2a)x从而当1一2ano,即as丄时，厂(x)no(xno),而/(o)=o,于是当xno时，/(%)>o.由>1+兀(兀H0)可得厂>1一班兀H0)•从而当a〉丄时,fx)<『—1+2a(e'x-1)=厂(ex一1)(/—2a),故当xe(0,ln2a)时，/*(x)<0,l(iif(0)=0,于是当xe(0,ln2a)时,/(x)<0.综合得a的取值范围为(Y)丄］.5.求导后通分化简得广(兀)=2(対(如Q2+2兀)的情况：［应对策略］:设g
4、(x)=2(》和刘n(x+l'+2x)求导得g'(x)=21n(x+l)~2x再设/?(x)=21n(x+l)-2x，得/2(x)最大值为0,从而得到Q(x)<0・即两次求导法.6.已知函数f(x)=xc~x(xgR)如果兀］工兀2，且/(西)=/(兀2)，证明兀］+兀2〉2如果兀］H兀2，且/(X1)=/(X2)»g(x)与》(联丁对称"证明兀］+兀2>2的问题.［应对策略］:转化为，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2),所以f(x2)>f(2-x2)4.关于x的方程求loga=loga在
5、区1'可［2,6］上有实数解，求(的(x—1)(7—x)x+1収值范围；［应对策略］:t=^-(x2-l)(l-x)iX+1令h(x)=—―(x2-1%7-x),xg［2,61,JfliJzeh(x丿的值域.x+15./(x)+m>Ot0成立时，求m的范围？［应对策略］:丿IJ分离常数法，化为m>h(x),转化为求h(x)的最值问题解决。若不能分离常数时，令g(x)二/(x)+m,转化为求g(x)的最值问题解决。6.对磁得2引0,"］,/(xj>g(兀2)，求m的范围?［应对策略］:只要『⑴最小值锻&(兀)
6、7.对磁得/(x)>g(x)，求m的范围？［应对策略］:只要令/2(兀)=/(x)-g(x),只需令力(兀)最小值>08.对跑也］［/綾彳的七点/(兀1)>$(兀2)，求m的范围？［应对策略］:只要/(兀)最小值歸&(兀)9.对跑田［/4^偉兀2丘/(兀］)=g(兀2)，求m的范围？［应对策略］:只要/(X)的值域购俶城・10.证明f(X)>g(X)［应对策略］:只要令/：(%)=/(x)-g(x),只需证力(兀)堆小值no16.要证%,/(%2)>%2/(^),［应对策略上只需证令h(x)=/血，判出h(
7、x)=的单调性。XX17.要证5f(2p+3q)>2/(p)+3f(q),［应对策略］:转化为证5/(2〃+3g)—2/(/7)+3/⑷>0,设£=t,令h(t)=5/(2p+3^)-2f(p)+3f(q),右边化为t的函数,q证h(t)嚴小值'°。17.求过点P的切线方程，［应对策略］:设切点为(天。,儿)，求出切线方程y-y()=/'(x0)(x-x0),把p点坐标代入求出x0.18.求点P处的切线方程，［应对策略］:切线方程为y-)；o=/r(xo)(x-xo)19.证If(xl)-f(x2)IX41
8、兀］一兀21,［应对策略］:可设力(兀)=/(x)+4x【例题】已知函数f(x)=(a+l)x+ax2+,设a<-l.如果对任意x^x2E(0,+oo),I/(x1)-/(x2)>4Ix1-x2I,求a的取值范围。提示:令g(x)=f(兀)+4兀，则gx)=-+2ax+4等价于g(x)在(0,+oo)单调减少,沁+2姒+4".从而a<=^-=x2jt+1(2x_1)2_4/_22兀2+1(2x-l)22宀
