例谈破解“导数零点小可求”的两种策略

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1、高中数学教与学2014生例谈破禳“导数霉点不萄求”韵两种策路傅建红(浙江省衢州第二中学，324000)导数在高中数学中可谓“神通广大”，它0恒成立，故函数h(PC)经过(1，0)点，且在(0，是解决函数、方程、不等式及解析几何等问题+∞)上单调递减(如图1)．观察图象知：当的“利器”．而导数的零点是利用导数展示其E(0，1)时，h()>0；当∈(1，+∞)时，工具性的关键“点”，一旦找到此“点”，则函数h()<0。注意H()与h()同号，所以函数的单调性、极值、最值、大致图象等问题也将H()在区间(0，1)上

2、为增函数，在(1，+。。)随之而解．然而，当导函数为超越函数时，欲上为减函数(如图2)．故H()⋯=H(1)：从正面直接求出导数的零点几乎是不可能0，从而H()≤H(1)=0，当且仅当=1时的，怎么办?倘若此“点”不能破解，则所有的等号成立，得证．后续手段都将无法施展，导数在函数中的应)’用也将“黯然失色”．那么，如何方能走出“导＼y=h(x)数零点不可求”的困境?本文以高考题为例介绍两种变通策略，供参考．策略1特殊值探根再次求导O＼D／／例1(2013年北京卷)设Z为曲线C：y=图1图2在点(1，0)处的切

3、线．例2(2013年辽宁卷)已知函数-厂()=3(1)求f的方程；(1+戈)e—h，g()=Ⅱ+{-+1+2xcos．当(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直E[0，1]时，线Z的下方．l解(1)Y=一1(过程略)．(1)求证：1一≤)≤；(2)令，()=，g()=一1，()(2)若)≥g(pc)恒成立，求实数。的取值范围．=／【)一g()=一+l。贝0由题意，只要解(1)令t()：‘，)一(1一)=(1证明H()≤0对一切>0恒成立，即证+)e一+一1，贝0t()=e—(一2一1)+H()≤0即可．1

4、，显然其零点无法直接解出．特殊值探根：令．’，=0，得t(0)=0(探根成功!)．又t”()=因，()：_l__，令^()=1一4xe≥0对一切∈[0，1]恒成立，故函数一In，显然其零点无法直接解出．怎么办?t(pc)经过(0，0)点，且在区间[0，1]上单调递特殊值探根：令=1试探，得h(1)=0(探根增(如图3)．观察图象知：当∈[0，1]时，l成功!)，又h()=一2一一<0对一切>t()≥0，即t()在[0，1]上单调递增，故t()≥t(o)=0，即1～≤．厂()，得证．·22·第研高中数学教与学e

5、一In(+2)，由题意，只要证明h()>0在令m()=)一∈(一2，+。。)上恒成立．求导得h()=e一(±±皇：!(±二皇：2一f1_+)e2x‘一—l_，易知h(一1)<0，h(0)>0．显然，设q()=1+一e．探根：令=0，得h()的零点无法直接解出，且也无法用探根q(0)=0；又g()=1一e≤0在∈[0，1]法探知其零点．怎么办?虚设零点：令h()在上恒成立，故q()的图象过(0，0)点，且在区区间(一1，0)内零点为‰(零点存在定理)，结间[0，1]上单调递减(如图4)．观察图象可合”()=e+

6、>0，可知函数^()知，q(x)≤q(O)=0；又m()与q(x)同号，经过点(‰，0)，且在区间(一2，+∞)上单调故)≤i__l_，得证·递增(如图5)．观察图象知：当∈(一2，。)(2)略．时，h()<0；当∈(o，+。o)时，h()>JJ，J0，即函数h()在(一2，。)上单调递减；在y=t)、(‰，+∞)上单调递增(如图6)．所以，1一0l，h(x)≥h(x0)：e一ln(x0+2)．①D]r-以下只要证明h(。)>0即可．由h(。)--q(~)=0，可得，图3图4e=—，②0十二评注上述两例的解答

7、告诉我们，当导ln(xo+2)=一0．③数零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石将②③同时代人①，即得h(。)：问路”．特殊值的选取原则是：(1)在含In的复合函数中，通常令=e(∈R)，尤其是令+Xo：．‘又义。∈(-l，’0u)，’，从=1进行试探；(2)在含e的复合函数中，通而(‰)>0，得证．常令=In(>0)，尤其是令=0进行试，：探．在探得导函数的一个零点之后，对于导函／y=

8、y=HI数是否还有其它的零点尚未可知，因此后续，手段是：对导函数进行再次求导，目的是为了0．X00j探明导函数的单调性、画

9、出导函数的大致图．象，进而通过观察图象了解导函数的正负，即图5图6原函数的单调性，从而使问题获解．策略2虚拟设根整体转换例4(2012年全国卷)设函数，()=e例3(2013年全国卷)已知函数，()=一Ⅱ一2．e一In(+，孔)．(1)求，()的单调区间；(1)设=0是，()的极值点，求m，并讨(2)若口=1，Il}为整数，且当>0时，(论．厂()的单调性；—k)f()++1>0，求的最大值．(2)