破解导数零点难求问题的道与术.pdf

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1、·20·中学教研(数学)2017年第2期破解导数零点难求问题的道与术●汪正文(丹阳市教师发展中心江苏丹阳212300)摘要:导数作为衔接初等数学与高等代数的纽带，是研究函数性质、培养学生探究能力的重要工具，更是历年高考的难点和热点，而导数零点的求解是研究函数性质的前提．文章通过对近几年数学高考导数零点问题的深入探究，给出了导数零点中难求问题的破解之道．关键词:零点;设而不求;等价转化中图分类号:O122文献标识码:A文章编号:1003－6407(2017)02-20-03在近几年的数学高考中，函数与导数备受命题因此，除切点之外，曲线C在直线l的下方．专家的青睐，

2、且多以压轴题的形式出现，主要通过点评在第2)小题中，令g'(x)=0，得导数研究函数的性质求解，但求导后，导函数形式φ(x)=0是超越方程，零点不易求解，但通过观察往往呈现超越式或高次形式，出现导数零点求不出可知x=1是其零点，再对φ(x)二次求导，知φ'(x)或符号难以判定的情况，从而使问题的求解陷入困为正，即g(x)为单调函数，说明x=1是g'(x)的唯境．笔者试图以高考题为例探讨破解导数零点难求一零点，从而求出g(x)的最小值．一般地，当导数问题的道与术．式含有lnx时，可试根x=1或x=e;当导数式中含1特值验根，证明唯一x有e时，可试根x=1或x=0．

3、导函数存在零点，但令导函数为0后，出现了2虚设零点，代换化简超越方程，若直接求解比较困难，则可先用特殊值导函数零点存在的前提下，当零点式子非常繁试探出导函数方程的一个根，再通过二次求导研究琐或无法求解时，可考虑虚设零点x0，然后对其单调性，并证明其是唯一的，从而使问题得解．f'(x0)=0进行合理地变形与代换，将超越式化为［1］lnx例1设l为曲线C:y=x在点(1，0)处的普通式，从而达到化简f(x0)的目的．32切线．例2已知关于x的函数f(x)=x+x+ax+1)求直线l的方程;1有3个零点，求实数a的取值范围．2)证明:除切点(1，0)之外，曲线C在直线

4、l27的下方．解三次函数f(x)有3个零点，即f(x)的极2(2013年北京市数学高考理科试题第18题)大值与极小值异号．由f'(x)=3x+2x+a，可令1)直线l的方程为y=x－1，过程略．f'(x)=0，求得Δ=4(1－3a)，接着分类讨论如2)证明令g(x)=x－1－lnx，问题转化为证下:x1明g(x)＞0对任意的x＞0且x≠1成立．由当a≥3时，Δ≤0，f'(x)≥0，从而f(x)单调122g'(x)=(x－1+lnx)，可令φ(x)=x－1+lnx，递增，则函数f(x)只有1个零点，故舍去．2x11当a＜时，Δ＞0，设x1，x2(不妨设x1＜x2)

5、是且φ(1)=0，又φ'(x)=2x+＞0，则φ(x)在(0，3xf'(x)=0的2个根，则:当x∈(－∞，x1)时，+∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，φ(x)＜0，即g'(x)＜0，g(x)单调递减;当x＞1时，φ(x)＞0，f'(x)＞0，从而f(x)单调递增;当x∈(x1，x2)时，即g'(x)＞0，g(x)单调递增，故g(x)＞g(1)=0f'(x)＜0，从而f(x)单调递减;当x∈(x2，+∞)(其中x＞0且x≠1)．时，f'(x)＞0，从而f(x)单调递增．因此，f(x)的极收文日期:2016-10-13;修订日期:2016-11-16作者简介:

6、汪正文(1975－)，安徽安庆人，中学高级教师．研究方向:数学教育．2017年第2期中学教研(数学)·21·大值与极小值分别为f(x1)，f(x2)，统一设f(x)的22a+aln，a极值点为t，则3t2+2t+a=0，2因此当a＞0时，f(x)≥2a+aln．a21即t=－(2t+a)，3点评导数含参且存在零点，但无法求出时，321可通过虚设零点x0，研究f'(x)的单调性，判断出从而f(t)=t+t+at+=27f(x0)是极大值还是极小值，再利用式子f'(x0)=0111进行变形与代换，从而将超越式化为普通式，最后－t×(2t+a)－(2t+a)+at+=

7、3327利用基本不等式放缩求解．11(6a－2)t+(1－3a)，3等价转化，强化命题927当直接构造函数求导较为繁琐、导函数零点无于是f(x1)·f(x2)=法求出、虚设零点也难以奏效时，可尝试将目标式6a－21－3a6a－21－3a(9x1+27)·(9x2+27)=等价重组．构造2个相对简单且易于求出导数零点6a－2221－3a2的函数g(x)和h(x)，通过证明其加强命题2(1－3a)(9)x1x2－9×27(x1+x2)+(27)=g(x)＞h(x)，从而规避零点，使问题得解．minmax12xbx－1(1－3a)(12a+5)．例4设函数f(x)=a

8、elnx+e，曲线y=2