高考数列求与问题破解策略

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1、高考数列求与问题破解策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点•数列求和问题题型多变，思维要求高，是数列的一个难点•鉴于此，下面将数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供2013届考生复习参考.一、利用常用数列求和公式求和若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，常用求和公式列举如下：等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)2二na1+n(n—1)2d,等比数列求和公式：Sn=na1(q=l)a1(1一qn)1一q=a1一anql—q(q工1)自然数的方解和：Znk

2、=lk3=13+23+33+・・・+n3=14n2(n+1)2,Znk二lk二l+2+3+・・・+n二12n(n+1),Enk=lk2=12+22+32+・・・+n2=16n(n+1)(2n+l).例1设Sn二l+2+3+・・・+n,nWN*，求f(n)=Sn(n+32)Sn+1的最大值.解：由等差数列求和公式得Sn=12n(n+1),Sn+1=12(n+1)(n+2)f(n)=Sn(n+32)Sn+1=nn2+34n+64=ln+34+64n=l(n—8n)2+50W150二当n=88,即n=8时，f(n)max=150二、错位相减法求和若数列｛cn｝的通项公式为cn=anbn,其中

3、｛an｝,｛bn｝中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q,然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.例2求和：Sn=l+3x+5x2+7x3+…+(2n一1)xn—1(xHl)①解：由题可知，｛(2n—1)xn—1｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xn一1｝的通项之积设xSn=lx+3x2+5x3+7x4+…+(2n一1)xn……②(设制错位)①一②得(1—x)Sn二l+2x+2x2+2x3+2x4+・・・+2xn一1一(2n一1)xn(错位相减)再利用等比数列的求和

4、公式得：(1-x)Sn=l+2x•1一xn——11——x——（2n—1）xn.Sn=（2n一1）xn+1一（2n+l）xn+（1+x）（1—x）2例3求数列22,422,623,…，2n2n,・••前n项的和.解：由题可知，｛2n2n｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛12n｝的通项之积设Sn=22+422+623+・・・+2n2n……①12Sn二222+423+624+・・・+2n2n+1……②（设制错位）①一②得（1—12）Sn二22+222+223+224+・・・+22n—2n2n+1（错位相减）-2—12n—1—2n2n+1/.Sn=4一n+22n一1三、倒序相加法求

5、和将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加,就可以得到n个（a1+an）,Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次倒序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法.也称倒序相加法.例4求证：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+l）Cnn=(n+1)2n.证明：设Sn=C0n+3C1n+5C2n+・・・+(2n+l)Cnn①把①式右边倒转过来得S=sin289+sin288+・・・+sinSn=(2n+l)Cnn+(2n—1)Cn1n+・・・+3C1n+C0n（反序）又由Cmn=Cn-mn可侍Sn=(2n+l)C0n+(2n—1)C1・・・+

6、3Cn--1n+Cnn……②①+②得2Sn=(2n+2)(C0n+C1n+・・・+Cn—ln+Cnn)=2(n+1)•2n（反序相加）ASn=(n+1)•2n•例5求sin21°+sin22°+sin23o+・・・+sin288o+sin289°的值.解■■设S=sin21°+sin22°+sin23°+・・・+sin288°+sin289°①将①式右边反序得23°+sin22o+sin21o②(反序)又因为sinx=cos(90oX),sin2x+cos2x=l,①+②得2S=(sin21°+cos21°)+(sin22o+cos22°)+・・・+(sin289°+COS289°)=

7、89(反序相加).•.S=892.四、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和.例6求数列｛n(n+1)(2n+l)｝的前n项和.解：设ak=k(k+1)(2k+l)=2k3+3k2+k,