数列求与(修)

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1、数列的求和方法知识归纳：1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.4．倒序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.5．裂项求和法：将数列的每一项拆（

2、裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、基本公式：等差数列的前项和公式：，等比数列的前n项和公式：当时，①或②当q=1时，172、常用数列的前n项和：例1．已知，求的前n项和.解：由，由等比数列求和公式得=＝＝1－四、拆项分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例题1、求数列的前项和分析：由数列不是等差数列也不是等比数列不可以直接用公式，解题关键在于分析数列通项

3、公式an=2n-1+=(2n-1)+,可以看出此数列可以看作由一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列，因此可以此数列的求和转化为一个等差数列和一个等比数列求问题解：Sn=17练习：求数列9，99，999　┄　的前n项的和例8．求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝六、并项求和法针对一些特殊的数列，将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例14．在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列

4、的性质（找特殊性质项）和对数的运算性质得（合并求和）＝＝17=10二、错位相减求和法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例3．求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积当，当设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴例4.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。解析：①-②得：17。点评：设数列的等比数列，数列是等差数列

5、，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。例题2、求数列1,2x,3x2,4x3┄nxn-1前n项的和分析：对比例题材可以看出此数列也是由一个等差数列与一个等比数列组合而来，但它又不具备例1的“加”的特点，而是对应项相乘而应该模仿等比数列求公式的推导过程而采用“错位相减”的方法，引导同学观察等比数列求和公式的推导过程。类似的给出下面的解法：解：设Sn=1+2x+3x2+4x3+┄+nxn-1①则xSn=x+2x2+3x3+4x3+┄+nxn　②①-②得（1-x）Sn=1+x+x2+x3+┄+xn-1-nxn⑴当x=1时，在原式中Sn=1+2+3+4+┄+n=　

6、　　　⑵当x时练习求数列，，┄┄的前n项和。三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5求的值解：设………….①将①式右边反序得17…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5五、裂项相消求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）例题3、求和分析：紧抓住通项公式的特点，进行巧妙变形。从而17例10

7、．求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝例11．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：　∵　∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）＝＝七、数列的“通项分析法”求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.17例16．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中，，…，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设{an}首项为a1，公差为d∵a1，a5，a17成等比数列∴a

8、52=a1a17∴（a1+4d）2=a1(a1+16